Seitenhalbierende

Definition und Bedeutung

Eine Seitenhalbierende, auch Schwerlinie oder Median genannt, ist in einem Dreieck die Strecke von einer Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Sie gehört zusammen mit Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden und Höhen zu den klassischen Transversalen der Dreiecksgeometrie.

Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in genau einem Punkt S. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt des Dreiecks. Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1: Die Strecke von der Ecke zum Schwerpunkt ist doppelt so lang wie die Strecke vom Schwerpunkt zum Seitenmittelpunkt.

Flächen und Längen

Eine Seitenhalbierende zerlegt das ursprüngliche Dreieck in zwei flächengleiche Teildreiecke. Beide besitzen bezüglich der geteilten Dreiecksseite dieselbe Höhe und gleich lange Grundseiten. Daher haben sie denselben Flächeninhalt.

Die Flächengleichheit lässt sich auch durch eine Scherung parallel zur Seitenhalbierenden veranschaulichen. Eine Scherung verändert hier den Flächeninhalt nicht und kann die beiden Teildreiecke in eine achsensymmetrische Form überführen. Werden alle drei Seitenhalbierenden eingezeichnet, entstehen insgesamt sechs flächengleiche Teildreiecke.

Für ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c werden die zugehörigen Seitenhalbierenden mit sₐ, s_b und s_c bezeichnet. Ihre Längen sind:

• sₐ = √(2(b² + c²) − a²) / 2 • s_b = √(2(c² + a²) − b²) / 2 • s_c = √(2(a² + b²) − c²) / 2

Median-Dreieck

Aus den drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks lässt sich ein neues Dreieck bilden, das Median-Dreieck. Sein Flächeninhalt ist 3/4-mal so groß wie der Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks.

Die Entstehung wird geometrisch in zwei Schritten dargestellt: Zuerst wird das ursprüngliche Dreieck am Mittelpunkt der Seite a punktgespiegelt. Anschließend werden drei der vier dabei betrachteten Teildreiecke geeignet geschert. So entsteht das Dreieck, dessen Seitenlängen den Seitenhalbierenden des ursprünglichen Dreiecks entsprechen.

Weitere Flächengleichheiten

In der beschriebenen geometrischen Anordnung ist FB eine Seitenhalbierende des Dreiecks DAB, BD eine Seitenhalbierende des Dreiecks FCD und DF eine Seitenhalbierende des Dreiecks BEF. Da jede Seitenhalbierende ihr jeweiliges Dreieck in zwei gleich große Flächen zerlegt, folgt daraus, dass die vier Dreiecke ABF, FBD, CDB und EFD flächengleich sind.