Formelsammlung Arithmetik

Grundlagen und Notation

Die Formelsammlung fasst wichtige Regeln der Arithmetik zusammen. Arithmetik behandelt das Rechnen mit Zahlen, Variablen und Ausdrücken. In den Formeln stehen Buchstaben am Anfang des Alphabets wie a, b, c für beliebige Zahlen, Buchstaben in der Mitte wie i, j, m, n meist für natürliche Zahlen und Buchstaben am Ende wie x, y für Variablen.

Für Rechnungen gilt die Operatorrangfolge: Punktrechnung vor Strichrechnung. Multiplikation und Division binden stärker als Addition und Subtraktion; Wurzelziehen und Potenzieren binden stärker als Multiplikation und Division. Klammern haben Vorrang: Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. Operationen derselben Stufe werden ohne Klammern von links nach rechts ausgeführt.

Die vier Grundrechenarten sind Addition a + b = c, Subtraktion a - b = c, Multiplikation a · b = c und Division a : b = c. Bei der Division ist die Division durch null nicht definiert. Wichtige Rechengesetze sind das Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation, das Kommutativgesetz a + b = b + a und a · b = b · a sowie das Distributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c. Außerdem gelten a + 0 = a und a · 1 = a. Die binomischen Formeln lauten (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 und (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.

Brüche, Prozent und elementare Operationen

Ein Bruch ist definiert durch a/b = a : b. Dabei heißt a Zähler und b Nenner; Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, und der Nenner darf nicht null sein. Spezialfälle sind der Stammbruch mit a = 1, der echte Bruch mit a < b, der unechte Bruch mit a > b, der Scheinbruch a = b · c mit ganzer Zahl c und der Kehrbruch, bei dem a und b vertauscht werden.

Für Brüche gelten feste Rechenregeln. Vorzeichen können in den Zähler oder Nenner gezogen werden: (-a)/b = a/(-b) = -(a/b), und (-a)/(-b) = a/b. Erweitern und Kürzen geschieht mit demselben Faktor c: a/b = (a · c)/(b · c) für c ≠ 0. Addition und Subtraktion werden über einen gemeinsamen Nenner gerechnet: a/b + c/d = (a · d + c · b)/(b · d) und a/b - c/d = (a · d - c · b)/(b · d). Bei der Multiplikation werden Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert; bei der Division wird mit dem Kehrbruch multipliziert.

In der Prozentrechnung gilt p % = p/100. Der Prozentsatz ist Prozentwert : Grundwert. Für Promille gilt p ‰ = p/1000. Häufige Anteile sind zum Beispiel 1/2 = 50 %, 1/4 = 25 %, 1/5 = 20 %, 1/10 = 10 %, 1/3 ≈ 33,33 % und 2/3 ≈ 66,67 %.

Potenzen beschreiben wiederholte Multiplikation: a^n ist das Produkt aus n Faktoren a. Für negative Exponenten gilt a^-n = 1/a^n. Für rationale Exponenten gilt x = a^(m/n) genau dann, wenn x^n = a^m; dabei ist a nichtnegativ rational und m, n sind natürliche Zahlen. Wurzeln sind Umkehrungen von Potenzen: x = n-te Wurzel aus a genau dann, wenn x^n = a. Dabei ist a nichtnegativ reell und n > 1 natürlich. Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens zur Basis b: x = log_b a genau dann, wenn a = b^x; a und b sind positive reelle Zahlen. Wichtige Spezialfälle sind lb a zur Basis 2, ln a zur Basis e und lg a zur Basis 10.

Funktionen, Gleichungen und Ungleichungen

Der Betrag |a| gibt den nichtnegativen Abstand einer Zahl von 0 an. Er ist a für a > 0, 0 für a = 0 und -a für a < 0. Es gilt |a| = 0 genau dann, wenn a = 0, außerdem |a · b| = |a| · |b| und die Dreiecksungleichung |a + b| ≤ |a| + |b|. Das Vorzeichen einer Zahl wird durch sgn(a) beschrieben: 1 für a > 0, 0 für a = 0 und -1 für a < 0. Für a ≠ 0 gilt sgn(a) = a/|a|. Abrundung und Aufrundung werden mit ⌊a⌋ und ⌈a⌉ beschrieben: ⌊a⌋ ist die größte ganze Zahl k mit k ≤ a, ⌈a⌉ die kleinste ganze Zahl k mit k ≥ a.

Gleichungen werden durch Äquivalenzumformungen gelöst, also Umformungen, die dieselbe Lösungsmenge behalten. Erlaubt sind unter anderem das Vertauschen der Seiten, das Addieren oder Subtrahieren derselben Zahl sowie Multiplikation oder Division mit c ≠ 0 auf beiden Seiten. Auch f(a) = f(b) ist äquivalent zu a = b, wenn f injektiv ist.

Lineare Gleichungen haben die Form a · x = b. Für a ≠ 0 ist die Lösung x = b/a. Für a = 0 und b ≠ 0 gibt es keine Lösung; für a = 0 und b = 0 gibt es unendlich viele Lösungen. Quadratische Gleichungen haben die Form ax^2 + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Die Diskriminante ist D = b^2 - 4ac. Für D > 0 gibt es zwei reelle Lösungen x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a), für D = 0 eine Lösung x = -b/(2a), für D < 0 keine reelle Lösung. In der p-q-Form x^2 + px + q = 0 gilt D = p^2/4 - q und x1,2 = -p/2 ± √(p^2/4 - q). Der Satz von Vieta lautet p = -(x1 + x2) und q = x1 · x2.

Bei Ungleichungen gelten ähnliche Umformungen wie bei Gleichungen. Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer positiven Zahl bleibt das Ungleichheitszeichen gleich; bei einer negativen Zahl kehrt es sich um. Für streng monoton steigende Funktionen bleibt die Richtung erhalten, für streng monoton fallende wird sie umgekehrt. Wichtige spezielle Ungleichungen sind die Dreiecksungleichung, die Bernoullische Ungleichung (1 + a)^n ≥ 1 + a · n für a ≥ -1 und n = 0, 1, 2, ... sowie die Youngsche Ungleichung.

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen um die imaginäre Einheit i mit i^2 = -1. In algebraischer Form schreibt man z = a + b · i. Dabei ist a der Realteil und b der Imaginärteil. Die komplex konjugierte Zahl ist z̄ = a - b · i. Die Potenzen von i wiederholen sich im Viererschritt: i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i. Allgemein gilt für n ∈ Z: i^(4n) = 1, i^(4n+1) = i, i^(4n+2) = -1 und i^(4n+3) = -i.

In algebraischer Form werden Real- und Imaginärteil getrennt gerechnet. Addition: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). Subtraktion: (a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d). Multiplikation: (a + ib)(c + id) = ac - bd + i(ad + bc). Division ist möglich für c^2 + d^2 ≠ 0 und lautet (a + ib):(c + id) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + i · (bc - ad)/(c^2 + d^2).

In Polarform wird eine komplexe Zahl durch Betrag r und Argument φ dargestellt: z = r · (cos φ + i · sin φ). Der Betrag ist r = |z| = √(z · z̄) = √(a^2 + b^2). In Exponentialform schreibt man z = r · e^(iφ). Die eulersche Formel verbindet diese Darstellung mit der Polarform: e^(iφ) = cos φ + i sin φ. Multiplikation und Division sind in Exponentialform besonders einfach: (r · e^(iφ))(s · e^(iψ)) = (r · s) · e^(i(φ + ψ)) und (r · e^(iφ)):(s · e^(iψ)) = (r:s) · e^(i(φ - ψ)). Potenzen folgen (r · e^(iφ))^n = r^n · e^(inφ).

Summenformeln und Reihen

Summenformeln beschreiben das Rechnen mit Ausdrücken der Form Σ. Für konstante Summanden gilt ∑ von i = 1 bis n über c = n · c und ∑ von i = m bis n über c = (n - m + 1) · c. Faktoren dürfen aus der Summe herausgezogen werden: ∑ c · a_i = c · ∑ a_i. Summen werden gliedweise addiert: ∑(a_i + b_i) = ∑a_i + ∑b_i. Eine wichtige Sonderform ist die Teleskopsumme ∑ von i = 1 bis n über (a_i - a_(i-1)) = a_n - a_0.

Die arithmetische Reihe der ersten n natürlichen Zahlen hat die Gaußsche Summenformel ∑ von i = 1 bis n über i = n(n + 1)/2. Für die geometrische Reihe gilt ∑ von i = 0 bis n - 1 über k^i = (1 - k^n)/(1 - k). Potenzsummen sind zum Beispiel ∑ i^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 und ∑ i^3 = n^2(n + 1)^2/4.

Zu den kombinatorischen Summen gehört der binomische Lehrsatz: (a + b)^n = ∑ von k = 0 bis n über (n über k) a^(n-k)b^k. Das Multinomialtheorem verallgemeinert dies auf Summen mit mehreren Summanden. Außerdem nennt die Formelsammlung mehrere Ungleichungen bei Summen, darunter die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, die Tschebyscheff-Ungleichungen, die Minkowski-Ungleichung, die Hölder-Ungleichung und die Jensensche Ungleichung. Sie geben Abschätzungen für Summen, Produkte, Beträge, Potenzen und konvexe Funktionen unter den jeweils angegebenen Voraussetzungen.