Punktrechnung vor Strichrechnung

Grundregel und Bedeutung

„Punktrechnung vor Strichrechnung“, kurz „Punkt vor Strich“, ist eine Konvention zur Operatorrangfolge, also zur festgelegten Reihenfolge verschiedener Rechenoperationen. Wenn ein Ausdruck keine Klammern enthält, werden Multiplikationen und Divisionen vor Additionen und Subtraktionen ausgeführt. Dadurch sind viele Formeln auch ohne zusätzliche Klammern eindeutig und leichter lesbar.

Als Punktrechnung gelten Multiplikation und Division. Der Name bezieht sich auf den einzelnen Punkt · als Multiplikationszeichen und den Doppelpunkt : als Divisionszeichen. Die Regel gilt aber ebenso bei anderen Symbolen wie × für die Multiplikation sowie / oder ÷ für die Division. Addition und Subtraktion werden als Strichrechnung bezeichnet.

Anwendung an Beispielen

Ein Ausdruck mit Punkt- und Strichrechnung darf nicht einfach vollständig von links nach rechts berechnet werden. Zuerst werden sämtliche Multiplikationen und Divisionen ausgeführt. Danach folgt die verbleibende Addition und Subtraktion von links nach rechts.

• Bei 1 + 2 · 3 wird zuerst 2 · 3 = 6 berechnet. Danach ergibt 1 + 6 das richtige Ergebnis 7. Rein von links nach rechts gerechnet entstünde fälschlich 9.

• Bei 2 · 12 + 6 : 3 − 7 können die Multiplikation 2 · 12 und die Division 6 : 3 in beliebiger Reihenfolge zuerst berechnet werden. So entsteht 24 + 2 − 7. Die verbleibende Strichrechnung wird von links nach rechts ausgeführt und ergibt 19. Eine rein sequenzielle Rechnung von links nach rechts würde fälschlich 3 ergeben.

Klammern haben Vorrang vor Punktrechnung. Bei 36 − (4 + 7) · 3 wird deshalb zuerst 4 + 7 = 11, danach 11 · 3 = 33 und zuletzt 36 − 33 = 3 berechnet. Alternativ lässt sich die Klammer ausmultiplizieren: (4 + 7) · 3 = 12 + 21 = 33. Ohne Beachtung der Klammerung können andere, falsche Ergebnisse entstehen.

Weitere Regeln der Rangfolge

Potenzen stehen in der Rangfolge noch vor Punktrechnung und vor Vorzeichen. Daher gilt 4 · 2³ = 4 · (2³) = 4 · 8 = 32. Ebenso bedeutet −3² nicht (−3)², sondern −(3²) = −9.

Auch bestimmte Schreibweisen wirken wie Klammern: Zähler und Nenner eines Bruchs werden jeweils zusammengefasst, und der gesamte Bruch gilt innerhalb eines größeren Ausdrucks ebenfalls als geklammert. Deshalb ist 7 · (5 + 3)/(6 − 2) gleich 7 · ((5 + 3) : (6 − 2)) = 7 · (8 : 4) = 7 · 2 = 14.

Der Balken des Wurzelzeichens, das sogenannte Vinculum, fasst den darunterstehenden Ausdruck ebenfalls zusammen. Bei √(4 + 5) · 7 wird daher zuerst 4 + 5 = 9 unter der Wurzel berechnet. Anschließend gilt √9 · 7 = 3 · 7 = 21.

Entwicklung der Konvention

In Antike und Mittelalter wurden mathematische Erkenntnisse meist sprachlich formuliert, sodass die Gruppierung aus dem Satz hervorging. Beispielsweise bezeichnet „Zu 1 wird das Produkt von 2 und 3 addiert“ die Rechnung 1 + 2 · 3. „Die Summe von 1 und 2 wird mit 3 multipliziert“ bezeichnet dagegen (1 + 2) · 3.

Mit der neuzeitlichen Entwicklung kurzer Formeldarstellungen aus Zahlen, Bezeichnern und Operatoren wurde eine feste Rangfolge wichtig. Die Punkt-vor-Strich-Regel scheint dabei von Anfang an vorausgesetzt worden zu sein. René Descartes schrieb beispielsweise zz = az + bb. Diese Schreibweise lässt wie heute den Multiplikationsoperator bei nebeneinandergeschriebenen Faktoren weg; diese sogenannte Juxtaposition setzt zugleich voraus, dass die Multiplikation Vorrang vor der Addition besitzt.

Umsetzung in Rechnern und Programmen

Tabellenkalkulationsprogramme, die meisten Programmiersprachen und Computeralgebrasysteme beachten die Punkt-vor-Strich-Regel. Das Open-Source-System Maxima liefert beispielsweise für 1+23 das Ergebnis 7, für 212+6/3-7 das Ergebnis 19 und für 36-(4+7)*3 das Ergebnis 3.

Einige frühe Taschenrechner berücksichtigten die Regel bereits. Dazu gehörte der 1976 erschienene Schulrechner TI-30, der sich damit unter anderem von Konkurrenzmodellen unterschied. Andere Rechner arbeiten sequenziell: Sie führen jede Operation sofort aus, sobald sie eingegeben wird, ohne eine möglicherweise folgende höherrangige Operation abzuwarten. So wird 2 · 12 + 6 : 3 − 7 nacheinander zu 24, 30, 10 und schließlich 3 statt zum korrekten Ergebnis 19.

Manche Taschenrechner erlauben die Wahl zwischen einem „algebraischen“ Modus mit Operatorrangfolge und einem „sequenziellen“ Modus in Eingabereihenfolge. Aktuelle Geräte ermöglichen im sequenziellen Modus gewöhnlich die Eingabe von Klammern; diese müssen dann zur eindeutigen Gruppierung verwendet werden. Die Rechner-App von Windows 11 beachtet Punkt vor Strich im Modus „Wissenschaftlich“, rechnet im Modus „Standard“ jedoch sequenziell, ebenso wie die Rechner der vorherigen Windows-Versionen.

Einige Programmiersprachen weichen ebenfalls von der Konvention ab. Bei APL und seinen Abkömmlingen werden alle Operationen von rechts nach links ausgeführt, also die zuletzt eingegebene Operation zuerst. Bei der Eingabe von Ausdrücken muss deshalb immer geprüft werden, welche Auswertungsregeln das verwendete Programm oder Gerät anwendet.