Gravitationskonstante

Bedeutung und Grundidee

Die Gravitationskonstante G (gelegentlich auch γ) ist eine fundamentale Naturkonstante. Sie bestimmt die Stärke der Gravitation. Im Newtonschen Gravitationsgesetz beschreibt sie die Anziehungskraft zwischen zwei Körpern; in der allgemeinen Relativitätstheorie nach Albert Einstein bestimmt sie die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit. Deshalb ist sie für astronomische Größen und Vorgänge grundlegend.

G darf nicht mit der Gravitationsbeschleunigung g verwechselt werden. g beschreibt die Beschleunigung eines Teilchens im Schwerefeld, während G eine universelle Konstante der Gravitationsgesetze ist.

Gravitationsgesetz

Zwei kugelsymmetrische Körper mit den Massen m₁ und m₂ und dem Abstand r ihrer Mittelpunkte ziehen sich mit der Kraft

F = G · m₁ · m₂ / r²

an. G ist dabei die Proportionalitätskonstante. Die Kraft wächst also mit beiden Massen und nimmt mit dem Quadrat des Abstandes ab.

Alfred Cornu und Jean-Baptistin Baille führten diese Gleichungsform 1873 ein. Newton hatte nur die Proportionalitäten F ∼ m₁, F ∼ m₂ und F ∼ r⁻² angegeben. In einem rationalisierten Einheitensystem hätte die Formel F = G · m₁ · m₂ / (4π · r²) verwendet werden müssen; die zugehörige Proportionalitätskonstante wäre dann 4π-mal so groß.

Wert, Einheit und geringe Stärke

Der SI-Wert nach CODATA 2022 lautet:

G = 6,674 30(15) · 10⁻¹¹ m³/(kg · s²).

Die Angabe „(15)“ ist die geschätzte Standardunsicherheit in den letzten beiden Dezimalstellen. Die relative Unsicherheit beträgt 2,2 · 10⁻⁵. In Planck-Einheiten ist G = 1, gelegentlich auch 1/(8π).

Die Gravitation ist im Vergleich zu den anderen Grundkräften sehr schwach. Für zwei Protonen ist das Betragsverhältnis von Gravitationskraft und elektrostatischer Kraft, unabhängig vom Abstand,

|F_Gravitation/F_elektrisch| = G · m_Proton² / (e²/(4π · ε₀)) ≈ 10⁻³⁶.

Dabei sind e die Elementarladung und ε₀ die elektrische Feldkonstante. In Einheiten der Teilchenphysik gilt G = 6,708 83(15) · 10⁻³⁹ ħ · c/(GeV/c²)².

Warum die Messung schwierig ist

Aus Beobachtungen im Schwerefeld der Erde lässt sich das Produkt aus G und Erdmasse M⊕, die geozentrische Gravitationskonstante GM⊕, bis auf zehn Dezimalstellen bestimmen. Entsprechend kann GM☉ aus Planetenbewegungen abgeleitet werden. Die Masse eines Himmelskörpers lässt sich ohne Kenntnis von G jedoch nicht einmal halbwegs genau bestimmen.

G selbst muss daher über die extrem kleine Anziehung zwischen Körpern bekannter Masse im Labor gemessen werden. Zwei Körper von jeweils 100 kg in 1 m Abstand ziehen sich mit weniger als 10⁻⁹ ihrer Gewichtskraft an. Temperaturunterschiede, Luftströmungen, Materialungleichmäßigkeiten, Kriechen des Materials und sogar Fahrzeuge auf dem Parkplatz können Ergebnisse verfälschen. Daher wurde bislang nur eine Genauigkeit von fünf Dezimalstellen erreicht.

Ist G bekannt, kann die Masse eines von einem Begleiter umkreisten Himmelskörpers aus Bahnradius r und Umlaufkreisfrequenz ω bestimmt werden: μ = r³ω² und M = μ/G. Dies ist genauer als eine Schätzung aus Durchmesser und angenommenem Dichteverlauf.

Frühe Bestimmungen

Beim Schiehallion-Experiment bestimmte ein Forscherteam der Royal Society 1774 erstmals erfolgreich eine bekannte Masse. Gemessen wurde die Lotabweichung, die ein Berg durch seine Anziehung im Schwerefeld der Erde verursacht. Daraus ergab sich das Verhältnis der mittleren Erddichte zur Dichte des Berges und damit ein unerwartet hoher, aber richtiger Wert für Dichte und Masse der Erde.

Henry Cavendish gelang 1797 mit der von John Michell erfundenen Gravitationswaage das erste Laborexperiment zur Messung der Gravitationskraft zwischen Körpern bekannter Masse. Zwei Testkugeln mit zusammen m = 1,46 kg waren als Hantel an einem Torsionsdraht aufgehängt. Zwei große Kugeln mit zusammen M_c = 316 kg lenkten sie um etwa 1° aus. Aus Auslenkwinkel und Periodendauer der Torsionsschwingung bestimmte Cavendish die Anziehungskraft und erhielt G_Cavendish = 6,754 · 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻², nur 1,2 Prozent vom heutigen Wert entfernt.

Cavendish bestimmte tatsächlich die Erdmasse über das Verhältnis F_c/F_E = (M_c/M_E) · (r_E²/r_m²). Die verbreitete Aussage, er habe „die Erde gewogen“, ist physikalisch nicht korrekt und genau genommen sinnlos.

Moderne Messverfahren

Moderne Verfahren beruhen häufig weiter auf dem Prinzip des Cavendish-Experiments. Sie verwenden kleinere Massen und möglichst dünne Aufhängefäden: Deren Tragkraft nimmt mit dem Radius r gemäß r² ab, das Rückstellmoment aber gemäß r⁴.

Gemessen werden je nach Verfahren die Änderung der Schwingungsfrequenz statt des Winkels oder die Winkelbeschleunigung. Bei der Winkelbeschleunigung können beide Massen unabhängig rotieren; ein Drehtisch wird so nachgeführt, dass die Torsion kompensiert wird. Auch ein Ausgleich des Drehmoments durch elektrische Felder ist möglich.

Weitere Methoden messen die Änderung der Gewichtsdifferenz zweier vertikal übereinander liegender Testmassen, wenn Quecksilber zwischen sie gebracht wird, oder die Übertragung von Vibrationen von einer schwingenden Masse auf eine andere.