Druck (Physik)

Grundidee und Definition

Druck p ist die Wirkung einer flächenverteilten Kraft, die senkrecht auf einen Körper wirkt. Positiver Druck ist zum Körper hin gerichtet und verdichtet ihn; negativer Druck entspricht einem Zug. Beim Formen eines Schneeballs drücken die Hände den Schnee zusammen, während der Schnee einen Gegendruck auf die Hände ausübt.

Druck kann an Oberflächen und im Inneren von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen auftreten. Er ist eine intensive skalare Größe: Er hat an einem Ort einen Wert, aber keine eigene Richtung. Die Druckkraft hat dagegen eine Richtung, nämlich normal, also senkrecht, zur Fläche. In ruhenden Flüssigkeiten und Gasen breitet sich Druck nach dem Pascal’schen Prinzip allseitig aus; im Volumen wirkt er in alle Richtungen, auf Wände aber stets senkrecht.

Die genaue Definition lautet p = lim_(dA→0) dFₙ/dA. Dabei ist dFₙ die Normalkraft auf das kleine Flächenelement dA. Bei gleichmäßig verteilter Kraft kann näherungsweise p = Fₙ/A verwendet werden. Vektoriell gilt d⃗Fₙ = −p d⃗A = −p n̂ dA. Das Minuszeichen bedeutet: Bei positivem Druck zeigt die Kraft entgegen der nach außen gerichteten Flächennormale n̂, also in den Körper hinein.

In einem isotropen, ruhenden oder idealen Fluid ist der Druck an einem Punkt unabhängig von der Orientierung einer gedachten Schnittfläche gleich. Druck ist besonders für Strömungsmechanik und Thermodynamik wichtig. Der mechanische Druck ist eine gleichförmige Normalspannung; der thermodynamische Druck ist eine Zustandsgröße. Im Ungleichgewicht können beide voneinander abweichen.

Druck als Spannung im Körper und Fluid

In Technischer Mechanik und Kontinuumsmechanik ist Druck eine in alle Raumrichtungen wirkende Normalspannung σₙ mit σₙ = lim_(ΔA→0) ΔFₙ/ΔA. Dort ist die Vorzeichenregel umgekehrt zur Druckkonvention: Zugspannungen sind positiv, durch Druck verursachte Spannungen negativ. Positiver, komprimierender Druck erzeugt daher negative Spannung.

Der gesamte Spannungszustand wird durch den Spannungstensor σ beschrieben. Der mechanische Druck ist der negative Mittelwert der drei Normalspannungen:

p_mech = −⅓(σₓ + σᵧ + σ_z) = −⅓ Sp σ.

Er ist unabhängig davon, wie die x-, y- und z-Achsen ausgerichtet werden. Besteht der Spannungstensor nur aus Druckspannungen, gilt σ = −p 1; dies heißt Drucktensor. Auf einer Fläche mit äußerer Normale n̂ ist die Kraft bei positivem Druck immer senkrecht zur Fläche und zum Körper hin gerichtet.

Bei frei strömenden Fluiden, deren Geschwindigkeit weit unter der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit liegt, kann besonders für Flüssigkeiten meist Inkompressibilität angenommen werden. Dann wirkt der Druck als Zwangsspannung: Er verhindert eine Kompression und ist mathematisch ein Lagrange’scher Multiplikator für die Nebenbedingung der Inkompressibilität. Für ideale Gase und newtonsche Fluide gilt σ = −p_thermo 1 + S. S beschreibt beim newtonschen Fluid den durch Viskosität verursachten Anteil und fällt beim idealen Gas weg. Bei Volumenviskosität kann p_mech = p_thermo − ⅓ Sp S gelten; dann unterscheiden sich mechanischer und thermodynamischer Druck im Ungleichgewicht.

Druck in ruhenden und strömenden Fluiden

In einem ruhenden Fluid im Schwerefeld wirkt der hydrostatische Druck allseitig und nimmt mit der Tiefe zu. Für eine Flüssigkeitssäule der Höhe h, Dichte ρ und Erdbeschleunigung g gilt:

p(h) = ρgh + pₛ.

pₛ ist der am oberen Ende wirkende Umgebungs- oder Betriebsdruck. Wasserdruck und Luftdruck sind Beispiele für hydrostatischen Druck.

Bei einer Strömung unterscheidet man statischen, dynamischen und Totaldruck. Der statische Druck ist der thermomechanische Druck, den ein mit dem Fluid mitbewegter Beobachter messen würde. Gegenüber ruhenden Bereichen sinkt er in bewegten Teilen um den dynamischen Anteil. Der dynamische Druck, auch Staudruck, entspricht der kinetischen Energie pro Volumen und wird erst messbar, wenn die Strömung etwa an einem Staupunkt abgebremst wird:

p_d = ½ρv².

Bei einer verlustfreien, stationären Strömung kann die Geschwindigkeit deshalb aus der Differenz von Total- und statischem Druck bestimmt werden. Der Totaldruck lautet:

p_t = pₛ + ρgz + ½ρv².

Wo die Bernoulli-Gleichung gilt, insbesondere bei dünnflüssigen inkompressiblen Fluiden, ist p_t entlang eines Stromfadens konstant. Wird ein Strömungsquerschnitt kleiner, muss die Geschwindigkeit und damit der dynamische Druck zunehmen; der statische Druck nimmt entsprechend ab. Der Term ρgz steht für Lageenergie und wächst mit der Höhe z. In realen Rohrleitungen entstehen zusätzlich Druckverluste, etwa durch Viskosität und den Impulsaustausch mit der Wand.

Gasdruck und thermodynamische Bedeutung

Gasdruck entsteht durch die Impulsübertragung von Gasteilchen auf Gefäßwände. Bei einem Stoß tauschen Teilchen und Wand Impuls aus. Höhere innere Energie bedeutet im Allgemeinen schnellere Teilchen und größeren Druck. Der Gesamtdruck hängt von Zahl und mittlerem Impuls der Teilchen ab, die pro Zeit auf die Wand treffen. In einem Gasgemisch setzt er sich aus den Partialdrücken der Bestandteile zusammen. Verdampfende Flüssigkeiten können Dampfdruck bis zum Sättigungsdampfdruck erzeugen.

Thermodynamisch wird Druck als intensive Größe durch p = −∂U(S,V,n)/∂V definiert. Im idealen Gas gilt die thermische Zustandsgleichung p = nRT/V sowie aus der kinetischen Gastheorie p = nM v̄²/(3V). Dabei sind V das Volumen, n die Stoffmenge, R die universelle Gaskonstante, T die Temperatur, M die molare Masse und v̄² das mittlere Geschwindigkeitsquadrat. Das Materialmodell des idealen Gases lautet σ = −p(ρ,T)1 = −(nRT/V)1 = −RₛTρ1.

In der statistischen Physik gilt allgemeiner p = −⟨∂Ĥ/∂V⟩. Ĥ ist der Hamiltonoperator, V das Volumen und ⟨…⟩ ein Ensemblemittel. Daraus folgen je nach Ensemble p = −∂U/∂V im mikrokanonischen, p = −∂F/∂V im kanonischen und p = −∂Ω/∂V im großkanonischen Ensemble. Nach der Hypothese von Stokes von 1845 sind mechanischer und thermodynamischer Druck gleich, allerdings nur unter den genannten Einschränkungen.

Bezugsdruck und Einheiten

Der absolute Druck p_abs bezieht sich auf das perfekte Vakuum; dort ist sein Nullpunkt definiert. Relativer Druck beschreibt den Druckunterschied zwischen zwei Volumina und wird oft auf den Umgebungsdruck bezogen. Hat ein Reifen bei Luftdruck von 1 bar einen relativen Druck von 2 bar, so beträgt sein absoluter Druck 3 bar. Auch zum Blutdruck muss für den absoluten Blutdruck der Luftdruck addiert werden.

Die SI-Einheit ist das Pascal (Pa): 1 Pa = 1 N/m² = 1 kg/(m·s²). Ein Pascal entspricht einem Newton senkrecht verteilt auf einen Quadratmeter. Im Ingenieurwesen gilt außerdem 1 N/mm² = 1 MPa.

Wichtige Umrechnungen sind: 1 bar = 100.000 Pa = 1000 hPa = 100 kPa; 1 at = 98,0665 kPa und entspricht 10 m Wassersäule; 1 atm = 101,325 kPa; 1 Torr = 1/760 atm; 1 mWS = 9,80665 kPa. Weitere im Artikel genannte Einheiten sind psi, mmHg, inHg, inH₂O und ftH₂O.

Druck messen

Druckmessgeräte heißen Manometer. Meist messen sie Relativdruck gegenüber dem atmosphärischen Luftdruck. Absolutdruckmessgeräte, beispielsweise Barometer, verwenden ein Vakuum als Bezug. Differenzdruckmessgeräte erfassen den Druckunterschied zwischen zwei beliebigen Systemen.

Rohrfeder- oder Bourdonfeder-Manometer werden etwa für Reifen-, Hauswasser- und Hausgasdruck eingesetzt; ein eingerollter Schlauch rollt sich unter Druck teilweise ab. Statische Drücke lassen sich über die Auslenkung einer mechanischen Trennung gegenüber einem Referenzdruck messen, zum Beispiel mit Barometern, Ringwaagen oder Differenzdrucksensoren. Indirekte Messverfahren nutzen Effekte der Teilchenzahldichte.

Für fließende Fluide nutzen Staurohr (Pitotrohr) und Venturidüse die Bernoulli-Gleichung. Blutdruckmessgeräte erfassen indirekt akustische Ereignisse beim Entspannen zuvor komprimierter Adern. Druckmessumformer wandeln das Messsignal für industrielle Anwendungen in ein definiertes Signal um. Drucksensitive Farben machen örtliche Druckverteilungen an Grenzflächen sichtbar; eine Ringwaage misst sehr kleine Druckunterschiede mechanisch zwischen zwei Systemen.