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Extremwertaufgaben – Beispiel Fläche - Abitur
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 46 Zeilen
- das ist extrem das ist auch extrem und auch extrem da brauchen wir gar nicht erst von anfangen extrem wir heute auch bisschen unspektakulärer vielleicht
- lasst euch [Musik] überraschen heute geht's um
- Extremwertaufgaben oder auch Optimierungsaufgaben genannt was soll das sein machen wir einfach mal ein Beispiel wir werden jetzt alle mal
- Schäfer und wir wollen ein neuen Zaun aufbauen für unsere Schafe Material reicht aber nur für 400 m Zaun wir wollen natürlich glückliche Schafe
- deswegen unser Ziel die Schafe sollen möglichst viel Platz haben weil wir eh keine Kreise bauen können wollen wir ein rechteckiges Gebiet einzuen wie groß
- müssen die Kantenlängen sein damit die 400 m Zaun möglichst viel Platz einschließen das Grundprinzip von so einer Aufgabe ist euch jetzt bestimmt
- aufgefallen man kriegt eine Randbedingung vorgegeben im Beispiel das die 400 m Zaun und mit der Einschränkung will man dass was anderes möglichst groß
- oder möglichst klein wird bei uns soll die Fläche der scharfsweide möglichst groß werden leider ist das hier ein mathevide das ganze wird also
- ausgerechnet und zwar mit einer Funktion in unserem Beispiel ist die Funktion die Fläche von der Wiese die Fläche soll ja maximal sein
- also wollen wir den höchsten Wert den Hochpunkt der Hochpunkt ist eine Extremstelle deswegen auch das extrem im Namen von Extremwertaufgaben weil genau
- das will man bei den den höchsten oder den niedrigsten Wert von einer Funktion rausfinden wir wollen natürlich den Hochpunkt da wir ja die größte Fläche
- wissen wollen übrigens es gibt nicht nur die Randbedingung sondern auch ganz wichtig nach was ist denn gefragt bei uns nach der Fläche von dem Rechteck das
- wä die Hauptbedingung die Fläche von dem Rechteck soll maximal sein und wenn man es richtig macht dann kriegt man ja für die eine Formel raus die man gerade noch
- umformen muss das wäre dann die zielformel okay was Extremwertaufgaben vom Prinzip sind habt ihr gecheckt aber wie geht man ran das zeigen wir euch in
- unserem Beispiel das erste was gemacht werden muss was ist unsere Hauptbedingung korrekt wir wollen die maximale Fläche haben dazu müssen wir
- aber noch wissen wie die Fläche aussieht unser Feld soll rechteckig sein also zwei Kantenlängen haben A und B wie berechnet man die Fläche von einem
- Rechteck richtig a mal B damit ist der Flächeninhalt von dem Rechteck erstmal abhängig von zwei Variablen weil keine von beiden Kantenlängen kennt ihr unsere
- Hauptbedingung heißt also die Fläche a von den variblen A und B = A* B und das soll möglichst groß werden leider haben wir noch eine Einschränkung das Material
- von uns reicht nur für 400 m Zaun wir müssen also zweitens dann die Rand Bedingung aufstellen hier links noch mal die Skizze wie die Weide am Ende
- aussieht wie könnte man die Bedingung mit den 400 m in eine Formel packen wo baut ihr denn den Zaun wenn ihr was einzäuen wollt richtig außenrum
- natürlich heißt euer Zaun führt einmal komplett um das Rechteck rum wie hängt die Länge vom Zaun also von den Seitenlängen ab genau der Zaun ist
- genauso lang wie der Umfang vom Rechteck der Umfang ist einfach A + B + A + B alle Seiten einfach zusammengerechnet und der Umfang hängt natürlich auch
- wieder von beiden Variablen ab vereinfacht ist der Umfang 2 A + B und wir wissen der soll 400 m sein ist übrigens eure Entscheidung ob ihr lieber
- mit oder ohne Einheiten rechnet man macht ohne Übung oftmal Fehler damit und wenn man damit klar kommmt ist besser als ohne zur Übung lassen wir die mal
- weg und merken uns der Umfang und alle Strecken sind in met dann weiter geht's aber doof jetzt haben wir zwei Bedingungen
- die Hauptbedingung A* B und die Nebenbedingung 2 x A + B = 400 trotzdem haben wir noch nullpl wie geht's weiter jetzt wird die Nebenbedingung nach einer
- Variablen umgeformt warum die Hauptbedingung hängt von zwei Variablen a und B ab die wir beide nicht kennen die Nebenbedingung zwar auch aber da
- wissen wir wenigstens was rauskommen soll bei uns 400 m als Umfang damit gibt's einen Zusammenhang zwischen beiden Variablen die eine hängt von der
- anderen ab wenn wir also eine kennen kennen wir wegen der Randbedingung auch die andere perfekt unsere Nebenbedingung ist ja 2 x A + B = 400 nach welcher
- variable wir auflösen ist fuppe könnt ihr euch aussuchen meistens nimmt man halt die Variable nach der es einfacher geht wir lösen den Umfang einfach mal
- nach B auf kriegt ihr hin B ist 200- a toll geil Wu und jetzt jetzt wird die Variable in die Hauptbedingung eingesetzt unsere
- Hauptbedingung war ja A* B und gerade haben wir über die Nebenbedingung rausgekriegt B = 200- a dieses B setzen wir jetzt in die Hauptbedingung ein
- statt B setzen wir jetzt also 200- a ein vereinfacht ist das -a² + 200A jetzt hängt übrigens die Fläche auch nur noch von a ab das was wir jetzt
- haben ist die Zielfunktion mit der können wir jetzt arbeiten Schritt 5 wir wollen jetzt die Extremstelle der Zielfunktion haben wollen ja schließlich
- die maximale Fläche also den Hochpunkt unsere Zielfunktion haben wir gerade bestimmt das war -a² + 200A davon wollen wir den Hochpunkt wie kriegt man den
- noch mal raus richtig Ableitung g=ich 0 setzen und dann nach der Variablen umform also machen wir erst mal die Ableitung der Zielfunktion die ist -2a +
- 200 und das soll jetzt 0 sein also erstmal die 200 auf die andere Seite und rauskommt a = 100 das setzen wir noch in die zweite
- Ableitung ein um zu überprüfen ob bei A = 100 wirklich ein Hochpunkt ist ja passt was negatives in der zweiten Ableitung bedeutet Hochpunkt wenn euch
- das gerade alles zu schnell ging drückt Pause und macht selbst auf einem Blatt Tatsache wenn wir unseren Zaun an der einen Kante 100 m lang machen dann
- haben wir die größte Fläche eingeschlossen formal kommt noch der letzte Schritt die restlichen Größen ausrechnen wir haben gerade ja nur die
- eine Seite a ausgerechnet wie groß ist dann die zweite Seite B ganz einfach aus Schritt 3 wissen wir B = 200- a also ist B auch 100 die maximale Fläche kriegen
- wir also wenn wir die Weide quadratisch ein en wer jetzt noch Bock hat kann ausrechnen wie groß die letztendlich maximale Fläche ist könntst ja mal in
- die Comments schreiben wie viel Quadratmeter unsere Schäfchen mit 400 m Zaun am Ende maximal haben können jo das war unser erstes Beispiel zu
- Extremwertaufgaben wenn ihr da noch paar Beispiele wollt schreibt mal in die Comments # ja ich will oder # ichmagschafe wenn ihr mehr Schafe mögt
- übrigens wenn ihr mehr Schafe mögt könnt ihr die auch Klonen glaubt ihr nicht überzeugt euch selbst hier rechts lasst dann unbedingt auch ein Abo auf unserem
- biokanal da haut rein und macht's gut bis dann und ciao
Zum Nachlesen
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