Sphäre (Mathematik)

Grundidee und Definition

Eine Sphäre ist in der Mathematik die Oberfläche einer Kugel; der Begriff wird auf beliebig hohe Dimensionen erweitert. Besonders wichtig ist die Einheitssphäre, also die Oberfläche der Einheitskugel im n-dimensionalen euklidischen Raum.

Die Einheitssphäre S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^n enthält genau die Punkte mit Abstand 1 vom Ursprung:

S^{n-1}:=\{x\in \mathbb {R} ^n\colon \|x\|_2=1\}.

Dabei ist \|\cdot\|_2 die euklidische Norm. Die Einheitssphäre ist der Rand der Einheitskugel B^n und wird deshalb auch \partial B^n genannt.

Für einen Mittelpunkt z\in\mathbb {R}^n und Radius r lautet die allgemeine Definition:

S_r^{n-1}(z):=\{x\in \mathbb {R}^n\colon \|x-z\|_2=r\}.

Eine solche Sphäre entsteht aus der Einheitssphäre durch Skalierung mit dem Faktor r und anschließende Translation um den Vektor z.

Sphären in verschiedenen Dimensionen

Der Rand der abgeschlossenen n-dimensionalen Einheitskugel ist jeweils eine (n-1)-dimensionale Sphäre.

• B^1=[-1,1]. Die 0-Sphäre S^0 besteht aus den Punkten +1 und -1. Sie ist die einzige nicht zusammenhängende Sphäre.
• B^2 ist die Einheitskreisscheibe. Ihre 1-Sphäre S^1 ist die Einheitskreislinie. Sie ist zusammenhängend, aber nicht einfach zusammenhängend. Als komplexe Zahlen mit Betrag 1 bildet sie unter Multiplikation die Kreisgruppe.
• B^3 ist die Vollkugel im dreidimensionalen Raum. S^2 ist deren Oberfläche und wird durch Kugelkoordinaten beschrieben. Sie ist einfach zusammenhängend, ebenso wie alle höherdimensionalen Sphären.
• B^4 ist die vierdimensionale Vollkugel. S^3 ist eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit in \mathbb {R}^4. Sie kann als Menge der Quaternionen mit Betrag 1 gesehen werden; deren Multiplikation liefert eine Gruppenstruktur, die SU(2) entspricht.

Flächeninhalt und allgemeiner Sphärenbegriff

Das (n-1)-dimensionale Volumen, bei gewöhnlichen Kugeloberflächen der Flächeninhalt, einer (n-1)-Sphäre mit Radius r ist

\operatorname {vol}(S_r^{n-1})={\frac{\mathrm d}{\mathrm d r}}r^nV_n=nr^{n-1}V_n={2\pi^{\frac n2}r^{n-1}\over\Gamma(\frac n2)}.

V_n bezeichnet das n-dimensionale Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel, \Gamma die Gammafunktion.

In Topologie und Differentialgeometrie heißt S^n allgemeiner jede n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur Einheitssphäre in \mathbb {R}^{n+1} ist. Homöomorph bedeutet dabei: Die Räume lassen sich stetig und mit stetiger Umkehrabbildung ineinander überführen. Eine in \mathbb {R}^n durch den euklidischen Abstand definierte Sphäre mit der induzierten riemannschen Metrik heißt runde Sphäre.

Verallgemeinerungen auf Normen und Metriken

In einem reellen oder komplexen normierten Vektorraum V mit Norm \|\cdot\| ist die Normsphäre um v\in V mit Radius r:

S_r(v):=\{w\in V\colon \|v-w\|=r\}.

Sie ist punktsymmetrisch zu v, muss aber nicht rund sein. Bei der Maximumsnorm oder Summennorm können zum Beispiel Ecken und Kanten auftreten. Für v=0 und r=1 heißt sie Einheitssphäre. Auch Normsphären entstehen aus der Einheitssphäre durch Skalierung und Translation; die Einheitssphäre ist der Rand der Einheitskugel.

In einem metrischen Raum, also einer Menge X mit Abstandsfunktion d, ist die metrische Sphäre um x\in X mit Radius r:

S_r(x):=\{y\in X\colon d(x,y)=r\}.

Anders als bei normierten Räumen gibt es im Allgemeinen keine Translationsinvarianz. Deshalb besitzt eine metrische Einheitssphäre keine besondere Bedeutung, kann sogar leer sein und ist im Allgemeinen nicht unbedingt der Rand der zugehörigen metrischen Kugel.