Satz vom Minimum und Maximum – einfach erklärt

Kernaussage und Bedeutung

Der Satz vom Minimum und Maximum, auch Extremwertsatz oder Satz von Weierstraß genannt, ist ein grundlegender Existenzsatz der Analysis. Er besagt: Jede auf einem kompakten Intervall definierte stetige reelle Funktion ist beschränkt und nimmt ihr absolutes Maximum sowie ihr absolutes Minimum an.

Ein kompaktes Intervall ist hier ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall [a,b] mit a,b∈ℝ und a≤b. Ist f:[a,b]→ℝ stetig, so gibt es Punkte x_m,x_M∈[a,b], sodass für alle x∈[a,b] gilt:

f(x_m)≤f(x)≤f(x_M).

Dabei ist f(x_m) das absolute Minimum und f(x_M) das absolute Maximum der Funktion auf dem gesamten Intervall. Der Satz garantiert nur die Existenz solcher Extremwerte. Er liefert kein Verfahren, um die Extremstellen tatsächlich zu bestimmen. Dafür werden beispielsweise Methoden der Kurvendiskussion verwendet. Trotzdem ist der Satz für den logisch strengen Aufbau der Analysis von großer Bedeutung, weil weitere zentrale Sätze auf ihm aufbauen.

Typische Anwendungen

Polynomfunktionen bilden eine wichtige Klasse von Beispielen. Jede Polynomfunktion ist stetig und nimmt deshalb auf jedem kompakten Intervall ihr Maximum und ihr Minimum an. Die Extremwerte können dabei auch an den Randpunkten des Intervalls liegen; Extremstellen müssen also nicht im Inneren liegen.

Ein konkretes Beispiel ist die Funktion

x↦x²·cos x·e^(cos x)−ln(x+1)

auf dem kompakten Intervall [0,1]. Sie ist dort stetig, weil sie aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist. Nach dem Satz vom Minimum und Maximum nimmt sie auf [0,1] sowohl ihr Maximum als auch ihr Minimum an. Die Bestimmung der konkreten Extremstellen mithilfe der Differentialrechnung wäre in diesem Beispiel sehr aufwändig. Der Satz ermöglicht daher eine Aussage über die Existenz der Extremwerte, ohne diese unmittelbar zu berechnen.

Notwendigkeit der Voraussetzungen

Die Voraussetzungen sind für die Schlussfolgerung unverzichtbar: Das Intervall muss abgeschlossen und beschränkt sein, und die Funktion muss stetig sein. Fehlt auch nur eine dieser Bedingungen, muss kein Maximum oder Minimum existieren.

Auf dem abgeschlossenen, aber unbeschränkten Definitionsbereich [0,∞) ist f(x)=x² stetig. Die Funktion wächst unbegrenzt und besitzt deshalb kein Maximum.
Auf dem beschränkten, aber nicht abgeschlossenen Definitionsbereich (0,1] ist f(x)=1/x stetig. Bei x=0 liegt eine Polstelle; weil 0 nicht zum Definitionsbereich gehört, wird kein größter Funktionswert angenommen. Daher gibt es kein Maximum.
Die Funktion f auf [-1,1] sei durch f(x)=x² für x≠0 und f(0)=1 definiert. Der Definitionsbereich ist abgeschlossen und beschränkt, aber f ist bei x=0 nicht stetig. Die Funktionswerte nähern sich für x→0 zwar beliebig dem Infimum 0, erreichen dieses jedoch nicht. Deshalb besitzt die Funktion kein Minimum.

Beweisidee

Der Standardbeweis besteht aus zwei Teilen und verwendet jeweils einen Widerspruchsbeweis.

Zunächst wird die Beschränktheit gezeigt. Angenommen, f sei nicht beschränkt. Dann gibt es eine Folge (x_n){n∈ℕ} in [a,b] mit |f(x_n)|>n. Weil alle x_n im beschränkten Intervall [a,b] liegen, besitzt diese Folge nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge (x{n_k}){k∈ℕ}. Ihr Grenzwert x* liegt wegen a≤x{n_k}≤b ebenfalls in [a,b]. Aus der Stetigkeit von f folgt, dass f(x_{n_k}) gegen f(x*) konvergiert. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Das widerspricht jedoch |f(x_{n_k})|>n_k. Also ist f beschränkt.

Nun sei M das Supremum der Funktionswerte, also die kleinste obere Schranke. Angenommen, M werde nicht als Funktionswert angenommen. Dann gilt f(x)<M für alle x∈[a,b], während die Funktionswerte M beliebig nahekommen. Man betrachtet

g(x)=1/(M−f(x)).

Der Nenner ist überall positiv, daher ist g wohldefiniert und stetig. Nach dem ersten Teil müsste g beschränkt sein. Weil f(x) aber M beliebig nahekommt, wird M−f(x) beliebig klein und g(x) beliebig groß. Das ist ein Widerspruch. Somit wird M angenommen und ist das Maximum.

Für das Minimum verläuft der Beweis analog. Man verwendet das Infimum m und, falls m nicht angenommen wird, die Funktion

h(x)=1/(f(x)−m).

Sie ist ebenfalls stetig, würde aber wegen f(x)→m unbeschränkt werden. Daher wird auch das Minimum angenommen.

Folgerungen und Verallgemeinerungen

Zusammen mit dem Zwischenwertsatz folgt: Das Bild einer stetigen Funktion auf einem kompakten Intervall ist wieder ein kompaktes Intervall. Der Satz vom Minimum und Maximum ermöglicht außerdem einen Beweis des Satzes von Rolle. Dieser wird häufig verwendet, um den Mittelwertsatz der Differentialrechnung zu beweisen. Der Mittelwertsatz rechtfertigt wiederum zahlreiche Verfahren der Kurvendiskussion.

Der Satz gilt auch unter der schwächeren Voraussetzung, dass die Funktion lediglich halbstetig ist. Außerdem gilt eine allgemeinere Fassung: Ist X ein kompakter Hausdorff-Raum und f:X→ℝ eine stetige Funktion, dann ist f beschränkt und nimmt ihr Maximum sowie ihr Minimum an.