Exponentielles Wachstum

Grundidee und mathematische Funktion

Exponentielles Wachstum, auch unbegrenztes oder freies Wachstum genannt, ist ein mathematisches Modell für einen Prozess, bei dem sich eine Bestandsgröße in gleichen Zeitschritten immer mit demselben Faktor vervielfacht. Die Größe kann dabei zunehmen oder abnehmen. Bei der Zunahme spricht man von exponentiellem Wachstum, beim Abnehmen von exponentiellem Zerfall oder exponentieller Abnahme.

Die Bestandsgröße B(t) hängt von der Zeit t ab. Eine Wachstumsfunktion hat die Form B(t) = A · b^(t/T_b). Dabei ist A > 0 der Anfangsbestand zur Zeit t = 0, b > 0 der Wachstumsfaktor und T_b die betrachtete Vervielfältigungszeit, zum Beispiel 1 Sekunde. Gleichwertig gilt B(t) = A · e^(λt) mit λ = ln(b)/T_b. λ heißt Wachstumskonstante.

Für b > 1 und damit λ > 0 liegt eine exponentielle Zunahme vor. Die Verdopplungszeit, auch Doppelwertszeit und in der Biologie Generationszeit genannt, beträgt T₂ = ln(2)/λ. Für b < 1 und λ < 0 handelt es sich um eine exponentielle Abnahme. Ihre Halbwertszeit ist T₀,₅ = ln(0,5)/λ. Allgemein gilt für einen Vervielfältigungsfaktor v: Tᵥ = ln(v)/λ. Umgekehrt ist v = B(t + Tᵥ)/B(t) = b^(Tᵥ/T_b) = e^(λTᵥ) > 0.

Bei exponentieller Zunahme können anfangs kleine Veränderungen später sehr groß werden. Ab einem bestimmten Zeitpunkt übersteigt das exponentielle Wachstum lineares oder polynomiales Wachstum um Größenordnungen, weshalb seine Auswirkungen leicht unterschätzt werden.

Kontinuierliche und diskrete Modelle

Im kontinuierlichen Modell ist die Änderung der Bestandsgröße proportional zu ihrem aktuellen Bestand. Die zugehörige Differentialgleichung lautet B′(t) = dB/dt = λ · B(t). Sie ist eine lineare homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und kann beispielsweise durch Variablentrennung gelöst werden. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist B′(t) = λ · B(t) = λ · B(0) · e^(λt).

Im diskreten Modell betrachtet man äquidistante Zeitpunkte tₙ = nΔt für n = 0, 1, 2, … und die Bestände Bₙ. Die rekursive Gleichung lautet Bₙ₊₁ = Bₙ · b. Bei positivem Wachstum ist b größer als 1, bei negativer Entwicklung liegt b zwischen 0 und 1. Mit t = nΔt, T_b = Δt und λ = ln(b)/Δt erhält man Bₙ = B₀bⁿ = B₀e^(n ln b).

Soll die Zeitspanne t_f bestimmt werden, in der sich der Bestand um den Faktor f = B(t_f)/B(0) ändert, gilt b^(t_f/T_b) = f und damit t_f/T_b = log_b(f) = ln(f)/ln(b). Für b = 1 + p nahe eins gilt näherungsweise ln(b) ≈ p. Eine Verdoppelung mit f = 2 benötigt dann ungefähr die Zeit t_f ≈ T_b · 0,7/p.

Bei exponentieller Abnahme bildet die x-Achse eine Asymptote des Graphen: Der Bestand nähert sich der Null an, verschwindet mathematisch aber nicht. Sind Bestände in einer Anwendung ganzzahlig, können sehr kleine Werte praktisch bedeutungslos werden, sodass ein Bestand beispielsweise biologisch als ausgestorben gilt.

Typische Rechenbeispiele

Beim Zinseszins beträgt der jährliche Zinsfaktor bei 8 % p. a. b = 1,08 und die Vervielfältigungszeit T_b = 1 Jahr. Für ein Anfangskapital A = 100 € gilt K(t) = 100 € · 1,08^(t/Jahr). Mit τ = t/Jahr wird daraus K(τ) = 100 · 1,08^τ. Nach 9 Jahren sind K(9) = 100 · 1,08⁹ = 199,90 € angesammelt; das Kapital hat sich damit fast verdoppelt. Bei vierteljährlicher Zinsgutschrift wird der Zinsfaktor bankmäßig umgerechnet: b′ = 1 + (b − 1)/4 = 1,02. Für 36 Quartale ergibt sich K(36) = 100 · 1,02³⁶ = 203,99.

Bei einer Epidemie verdoppele sich die Zahl der Infizierten alle 3 Tage. Startet der Bestand bei 1000 Infizierten, sind es nach 3 Tagen 2000 und nach 6 Tagen 4000. Mit τ = t/Tag lautet das Modell I(τ) = 1000 · b^τ mit b = ³√2. Nach 27 Tagen ergibt sich I(27) = 512.000. Nach 61 Tagen, also ungefähr 2 Monaten, wären es nach diesem Modell 1,3 Milliarden Infizierte. Das Wachstum ist ausdrücklich zunächst exponentiell gemeint.

Cäsium-137, ein Produkt der Kernspaltung, hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Seine Zerfallsfunktion kann als C(τ) = A · b^τ mit b = 2^(−1/30) und τ = t/Jahr geschrieben werden. Nach 90 Jahren gilt C(90) = A/8. Es sind dann noch 1/8 = 12,5 % der ursprünglichen Cäsiummenge A = C(0) vorhanden.

Anwendungen in verschiedenen Bereichen

In den Naturwissenschaften beschreibt das Modell unter anderem das theoretische Wachstum von Populationen, Mikroorganismen wie Bakterien und Viren, Krebszellen sowie der Weltbevölkerung, wenn begrenzende Faktoren wie Konkurrenten, Fressfeinde, Krankheitserreger oder endliche Nahrungsquellen fehlen. Bakterienwachstum, etwa bei E. coli mit einer Generationszeit von ungefähr 20 Minuten, wird in der Realität meist durch eine logistische Funktion beschrieben, die am Anfang einer Exponentialfunktion stark ähnelt. Beim radioaktiven Zerfall nimmt in gleich langen Zeitintervallen stets derselbe Bruchteil der zu Beginn des Intervalls vorhandenen Menge ab.

Auch Kettenreaktionen können exponentielle Entwicklungen zeigen. Bei der Kernspaltung freigesetzte Neutronen können weitere Atomkerne zum Zerfall anregen. Eine Kettenreaktion tritt ein, wenn die kritische Menge überschritten wird. Kernwaffen werden auf einen möglichst schnellen und hohen Anstieg der Reaktionsrate hin konstruiert; im Normalbetrieb eines Kernreaktors wird die Reaktionsrate mithilfe von Absorbern konstant gehalten. Nach dem Lambert-Beerschen Gesetz lässt sich außerdem die Intensität eines monochromatischen Lichtstrahls nach dem Durchgang durch ein absorbierendes, homogenes Medium als exponentieller Zerfallsprozess darstellen. Beim Anfachen eines Oszillators kann die Amplitude bis zum Einsetzen einer Begrenzung exponentiell anwachsen.

In Wirtschaft und Finanzen führt der Zinseszins zu exponentiellem Kapitalwachstum. Die Formel lautet K(t) = K(0) · (1 + i)^(t/T_i), wobei i der Zinssatz pro Zinsperiode T_i und K(0) das Anfangskapital ist. Bei 5 % Zinsen pro Jahr beträgt die Verdopplungszeit nach der Faustformel ungefähr 70/5 ≈ 14 Jahre. Schneeballsysteme, Schenkkreise und Kettenbriefe beruhen ebenfalls auf einer exponentiell wachsenden Teilnehmerzahl.

Beim Falten verdoppelt sich die Dicke einer Papier- oder Folienlage mit jedem Faltvorgang. Eine fünffach gefaltete Mylarfolie besteht aus 2⁵ = 32 Lagen und hat insgesamt eine Dicke von 480 µm; eine einzelne Folie ist daher ungefähr 15 µm dick. Nach zehn Faltungen wäre die Lage bereits 15 mm dick, nach weiteren zehn Faltungen mehr als 15,7 m. Wegen der ebenfalls exponentiell abnehmenden Stapelfläche lässt sich Papier in einem üblichen Papierformat kaum mehr als sieben Mal falten.

Das Schachbrettbeispiel veranschaulicht exponentielles Wachstum mit der Basis 2: Auf dem ersten Feld liegt ein Weizenkorn, auf jedem folgenden Feld jeweils die doppelte Menge. Auf dem 64. Feld liegen dann 2⁶³ ≈ 9,22 × 10¹⁸ Körner, also mehr als 9 Trillionen Körner. In der Musik wächst das Frequenzverhältnis von Intervallen exponentiell. Für die Abbildung f: I → Q gilt f(Oktave) = 2 und f(n Oktaven) = 2ⁿ für n ∈ N. Eine Oktave entspricht einem Frequenzverhältnis von 2:1 und 1200 Cent. Beispielsweise entsprechen Quinte und Quarte 702 beziehungsweise 498 Cent; zusammen ergeben sie 1200 Cent und das Frequenzverhältnis (3/2) · (4/3) = 2.

Grenzen des Modells

Exponentielles Wachstum ist als langfristiger Trend in der Realität besonders im wirtschaftlichen Bereich häufig nicht realistisch. Nach Norbert Reuter gehen die Wachstumsraten in höher entwickelten Gesellschaften aufgrund konjunktureller Einflüsse zurück. Statistische Daten deuten darauf hin, dass exponentielles Wirtschaftswachstum eher für die Anfangsjahre einer industriellen Volkswirtschaft typisch ist und ab einem bestimmten Entwicklungsniveau in lineares Wachstum übergeht. Eine langfristige Extrapolation kann deshalb zu einer Diskrepanz zwischen erwarteter und tatsächlicher Entwicklung führen.

Das betrifft unter anderem die Staatsverschuldung. Die rechentechnisch falsche Erwartung, Wirtschaftswachstum könne die Staatsverschuldung begrenzen, kann die Schwelle für neue Schulden senken. Bleibt das erwartete Wachstum aus, entsteht ein Defizit, das die künftige Handlungsfähigkeit eines Staates einschränkt. Zinsen und Zinseszinsen können dazu führen, dass die Staatsverschuldung exponentiell wächst.

Auch Bedürfnisse und biologische Populationen wachsen nicht unbegrenzt. Es treten Sättigungseffekte auf, etwa durch Konkurrenz um Nahrung oder Platz. Bei der Weltbevölkerung berücksichtigt das exponentielle Modell außerdem weder den ökologischen Fußabdruck und die Tragfähigkeit der Erde noch demographische Faktoren wie Geburten- und Sterberate sowie das Verhältnis zwischen weiblicher und männlicher Bevölkerung. Modelle, die Sättigungseffekte einbeziehen, sind das beschränkte und das logistische Wachstum. Das Modell des vergifteten Wachstums berücksichtigt zusätzlich wachstumshemmende Faktoren.