Eulersche Zahl

Kernidee und Definition

Die Eulersche Zahl e ist eine mathematische Konstante mit zentraler Bedeutung für die Höhere Mathematik, besonders für Analysis, Differential- und Integralrechnung sowie Stochastik. Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus ln und der natürlichen Exponentialfunktion. Ihre Dezimaldarstellung beginnt mit

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 …

Die bekannteste Definition ist die unendliche Reihe

e = 1 + 1/1 + 1/(1·2) + 1/(1·2·3) + 1/(1·2·3·4) + … = ∑ₖ₌₀^∞ 1/k!.

Dabei bezeichnet k! die Fakultät von k: Für k > 0 gilt k! = 1·2·…·k, und 0! := 1.

Eine gleichwertige Grenzwertdefinition lautet

e = limₙ→∞ (1 + 1/n)ⁿ.

Außerdem gilt e = exp(1) = e¹; e ist also der Funktionswert der Exponentialfunktion an der Stelle 1. Die Reihendarstellung entsteht, indem man die Taylorreihe der Exponentialfunktion um 0 an der Stelle 1 auswertet.

Für alle n ∈ ℕ gilt als Intervallschachtelung: (1 + 1/n)ⁿ < e < (1 + 1/n)ⁿ⁺¹.

Geometrisch ist e die eindeutig bestimmte Zahl b > 1, für die die Fläche unter y = 1/x im Intervall [1,b] genau 1 beträgt: ∫₁ᵉ 1/x dx = 1.

Eigenschaften und mathematische Bedeutung

e ist irrational und sogar transzendent. Sie kann daher weder als Bruch zweier natürlicher Zahlen noch als Lösung einer algebraischen Gleichung dargestellt werden. Ihre Dezimalentwicklung ist unendlich und nichtperiodisch. Das Irrationalitätsmaß von e beträgt 2, den kleinstmöglichen Wert für eine irrationale Zahl; e ist insbesondere nicht liouvillesch. Ob e zu irgendeiner Basis normal ist, ist nicht bekannt.

In der Eulerschen Identität

e^(i·π) = −1

stehen die Konstanten 1, e, die imaginäre Einheit i und die Kreiszahl π miteinander in Beziehung. Für die Umkehrzahl gilt

e⁻¹ = 1/e = ∑ₖ₌₀^∞ (−1)ᵏ/k!.

Die Zahl tritt außerdem in zahlreichen wichtigen Formeln auf:

• In der Stirlingformel für die Fakultät: n! ∼ √(2πn) (n/e)ⁿ. Eine im Artikel angegebene Abschätzung lautet √(2πn)(n/e)ⁿ ≤ n! ≤ √(2πn)(n/e)ⁿ · e^(1/(12n)).
• In der Gammafunktion: Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z−1)e^(−t) dt.
• In der Subfakultät: !n = ⌊(n! + 1)/e⌋.
• In der Normalverteilung: f(x | μ, σ²) = 1/√(2πσ²) · e^(−(x−μ)²/(2σ²)).
• In der Poisson-Verteilung: Pλ(k) = λᵏ/k! · e^(−λ).

Die Exponentialfunktion f(x) = eˣ ist besonders wichtig, weil ihre Ableitung mit ihr selbst übereinstimmt: f′(x) = eˣ = f(x). Ihre Steigung ist an jeder Stelle genauso groß wie ihr Funktionswert. In der Differentialrechnung hat x^(1/x) an der Stelle e sein Maximum, während xˣ an der Stelle e⁻¹ sein Minimum besitzt.

Anschauliche Anwendungen

Bei der Zinseszinsrechnung wird e als Grenzwert immer häufiger gutgeschriebener Zinsen sichtbar. Nach n Verzinsungen mit Zinssatz z gilt

Kₙ = K₀(1 + z)ⁿ.

Bei einer Einzahlung von K₀ = 1 Euro und einem Jahreszinssatz von z = 100 % = 1 erhält man bei jährlicher Verzinsung K₁ = 2, bei halbjährlicher Verzinsung

(1 + 1/2)² = 2,25.

Bei täglicher Verzinsung mit z = 1/365 ergibt sich

(1 + 1/365)³⁶⁵ = 2,714567482…,

bei sekündlicher Verzinsung mit z = 1/(365·86400)

(1 + 1/(365·86400))^(365·86400) = 2,71828178536… .

Bei kontinuierlicher Verzinsung wird n unendlich groß; der Grenzwert ist e.

Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung erscheint e häufig. Wenn bei n Brötchen jeweils eine Rosine zufällig verteilt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Brötchen keine der n Rosinen enthält, im Grenzwert

p = limₙ→∞ (1 − 1/n)ⁿ = 1/e = 0,367879… .

Beim zufälligen Verteilen von Briefen in adressierte Umschläge ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Brief im richtigen Umschlag steckt, ab sieben Briefen nahezu konstant und wird sehr gut durch 1/e ≈ 36,7879 % angenähert.

Beim Tauben- oder Sekretärinnenproblem lässt man zunächst k < n Bewerberinnen beziehungsweise Tauben unbeachtet und wählt danach die erste, die besser beziehungsweise größer ist als alle bisherigen. Für eine günstige Wahl gilt ungefähr k/n ≈ 1/e. Bei 27 Tauben sollte man daher zunächst 10 vorbeifliegen lassen. Die Wahrscheinlichkeit, die größte Taube zu treffen, beträgt ungefähr 1/e; in rund 2/3 der Fälle wird die optimale Lösung verfehlt. e wird außerdem bei der Poisson-, Exponential- und Normalverteilung verwendet.

Weitere Darstellungen und Näherungen

Neben Reihe und Grenzwert gibt es weitere Darstellungen:

e = limₙ→∞ n/ⁿ√(n!)

und

e = limₙ→∞ n!/!n,

wobei !n die Subfakultät bezeichnet. Über die Primzahlfunktion π(n) und das Primorial n# gelten außerdem

e = limₙ→∞ (ⁿ√n)^(π(n))

sowie

e = limₙ→∞ ⁿ√(n#).

Eine eher exotische catalansche Darstellung ist

e = √1 · √2 · √4 · √8 · … .

Die klassische Kettenbruchentwicklung von Euler lautet

e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …].

Weitere Entwicklungen betreffen beispielsweise (e + 1)/(e − 1) = [2; 6, 10, 14, …], 1/(e − 1) = 0 + 1/(1 + 2/(2 + 3/(3 + …))) sowie allgemeine Kettenbrüche für eᶻ und tanh z. 2019 fand ein Team um Gal Raayoni mithilfe der Ramanujan-Maschine eine neue Entwicklung, die erstmals von der ganzen Zahl 3 > e absteigt:

e = 3 + (−1)/(4 + (−2)/(5 + (−3)/(6 + …))).

Bruchnäherungen werden aus den Näherungsbrüchen dieser Kettenbrüche gewonnen. Beispiele sind 878/323 ≈ 2,718266254 als optimale Näherung mit Zähler und Nenner unter 1000 sowie 1457/536 ≈ 2,71828358… als beste Näherung mit höchstens dreistelligem Nenner. Im fünfstelligen Zahlenbereich ist 49171/18089 ≈ 2,718281828735… die beste angegebene Näherung. Eine weitere Verbesserung liefert 1084483/398959 ≈ 2,7182818284585… .

Berechnung der Nachkommastellen

Für die Berechnung der Dezimalstellen wird meist die schnell konvergierende Reihe

e = ∑ₖ₌₀^∞ 1/k! = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + …

ausgewertet. Bei der Implementierung ist Langzahlarithmetik wichtig, damit Rundungsfehler das Ergebnis nicht verfälschen. Der Tröpfelalgorithmus von A. H. J. Sale nutzt ebenfalls diese Reihe und kommt ohne besonders aufwendige Implementierung aus.

Die im Artikel dokumentierte Entwicklung der bekannten Nachkommastellen reicht von 23 Stellen durch Leonhard Euler im Jahr 1748 über 2.010 Stellen durch John von Neumann auf dem ENIAC 1949 und 100.265 Stellen durch Daniel Shanks und John Wrench 1961 bis zu 10.000.000 Stellen 1994. Im Jahr 2000 wurden nacheinander 2.147.483.648, 3.221.225.472, 6.442.450.944 und 12.884.901.000 Stellen erreicht. 2003 waren es 25.100.000.000 und 50.100.000.000, 2007 100.000.000.000 und 2009 200.000.000.000 Stellen.

Weitere dokumentierte Rekorde sind 500.000.000.000 und 1.000.000.000.000 Stellen im Jahr 2010, 1.400.000.000.000 und 1.500.000.000.000 im Jahr 2016, 5.000.000.000.000 am 29. August 2016, 8.000.000.000.000 am 3. Januar 2019 sowie 12.000.000.000.000 am 11. Juli 2020. Am 22. November 2020 wurden 31.415.926.535.897 Stellen angegeben.