Erweitern

Grundidee und Grundregel

Einen Bruch zu erweitern bedeutet, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren. Diese Zahl heißt Erweiterungsfaktor oder Erweiterungszahl. Sie darf nicht 0 sein; grundsätzlich kann jede andere Zahl verwendet werden. In der elementaren Bruchrechnung nimmt man meist natürliche Zahlen größer als 1.

Der Wert des Bruchs bleibt unverändert. Man erhält lediglich eine andere Darstellung derselben Bruchzahl. Zum Beispiel gilt:

2/3 = (2 · 2)/(3 · 2) = 4/6.

Die Brüche 2/3 und 4/6 stellen also dieselbe Bruchzahl dar. Ebenso gilt:

2/3 = (2 · 3)/(3 · 3) = 6/9, 2/3 = (2 · 4)/(3 · 4) = 8/12, 2/3 = (2 · 5)/(3 · 5) = 10/15.

Die Umkehrung des Erweiterns ist das Kürzen. Es entspricht dem Erweitern mit dem Kehrwert.

Vorzeichen und rationale Nenner

Durch Erweitern mit −1 lassen sich zwei negative Vorzeichen beseitigen:

(−2)/(−3) = (−2 · (−1))/(−3 · (−1)) = 2/3.

Das entspricht den Regeln für die Division: Zwei negative Vorzeichen können weggelassen werden.

Bei irrationalen Zahlen im Nenner ist manchmal schwer zu erkennen, ob zwei Brüche dieselbe Bruchzahl darstellen. Daher sucht man häufig eine Darstellung mit einem rationalen Nenner. Der Bruch 1/√2 wird dazu mit √2 erweitert:

1/√2 = (1 · √2)/(√2 · √2) = √2/2.

Dieses Verfahren gehört zur Rationalisierung des Nenners.

Erweitern in der Algebra

Beim Umformen algebraischer Terme kann Erweitern zu einer übersichtlicheren Darstellung mit weniger Zeichen führen. Ein Beispiel ist:

((a − b)³)/(a³ + a²b + ab² + b³) = ((a − b)³ · (a − b))/((a³ + a²b + ab² + b³) · (a − b)) = (a − b)⁴/(a⁴ − b⁴).

Durch das Erweitern mit (a − b) verringert sich die Zahl der Zeichen von 20 auf 12. Die Umformung ist jedoch nur richtig, wenn a ≠ b gilt, weil sonst mit 0 erweitert würde. Für a = b ≠ 0 ist der erste Ausdruck 0. Der zweite und der dritte Ausdruck sind in diesem Fall undefiniert, weil dort sowohl im Zähler als auch im Nenner die 0 steht.

Addition und Subtraktion von Brüchen

Beim Addieren oder Subtrahieren ungleichnamiger Brüche, also von Brüchen mit verschiedenen Nennern, werden die Brüche durch Erweitern gleichnamig gemacht. Ihre Nenner müssen anschließend übereinstimmen.

Für 3/4 + 5/6 sind 4 und 6 die ursprünglichen Nenner. Ein gemeinsamer Nenner muss ein gemeinsames Vielfaches von 4 und 6 sein. Das Produkt 6 · 4 ist immer ein gemeinsames Vielfaches, aber oft nicht das kleinste und daher unnötig aufwendig. Im Beispiel ist 12 das kleinste gemeinsame Vielfache, also der Hauptnenner.

Der erste Bruch wird mit 3, der zweite mit 2 erweitert:

3/4 + 5/6 = (3 · 3)/(4 · 3) + (5 · 2)/(6 · 2) = 9/12 + 10/12.

Bei gleichem Nenner werden die Zähler addiert, während der Nenner beibehalten wird:

9/12 + 10/12 = 19/12.

Das Ergebnis 19/12 lässt sich nicht mehr kürzen. Es kann aber als gemischte Zahl geschrieben werden: 19/12 = 1 7/12. Für Subtraktionen gilt das Gleichnamigmachen entsprechend.

Brüche vergleichen

Erweitern hilft auch beim Vergleichen zweier Brüche. Ein allgemeines Verfahren besteht darin, beide Brüche gleichnamig zu machen und anschließend die Zähler zu vergleichen.

Manchmal ist jedoch ein einfacherer Weg möglich. Um 3/4 und 9/11 zu vergleichen, genügt es, den ersten Bruch mit 3 zu erweitern:

3/4 = (3 · 3)/(3 · 4) = 9/12 < 9/11.

Die Zähler sind nun gleich: Beide Brüche enthalten 9. Da ein Zwölftel kleiner ist als ein Elftel, ist 9/12 kleiner als 9/11. Das Gleichmachen der Zähler kann beim Vergleichen praktisch sein, eignet sich aber nicht für Addition oder Subtraktion.