Kürzen

Bedeutung und Grundregeln

Beim Kürzen eines Bruchs werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert. Diese Zahl darf nicht 0 sein und heißt Kürzungszahl. In der elementaren Bruchrechnung verwendet man dafür einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, der größer als 1 ist.

Der Wert des Bruchs verändert sich dabei nicht: Der gekürzte Bruch ist nur eine einfachere Darstellung derselben Bruchzahl. Haben Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1, ist der Bruch unkürzbar und liegt in seiner Grunddarstellung vor.

Die Umkehrung des Kürzens ist das Erweitern. Erweitern ist bei jedem Bruch mit jeder natürlichen Zahl möglich. Kürzen ist dagegen nur möglich, wenn Zähler und Nenner einen passenden gemeinsamen Teiler besitzen. Lässt man beliebige Zahlen als Kürzungszahlen zu, entspricht das Kürzen durch eine Zahl dem Erweitern mit ihrer Kehrzahl.

Formel und Vorgehensweisen

Für ganze Zahlen a, b und c mit b ≠ 0 und c ≠ 0 gilt:

(ac)/(bc) = a/b.

Von links nach rechts gelesen wird (ac)/(bc) mit c gekürzt. Von rechts nach links gelesen wird a/b mit c erweitert. Beim schriftlichen Rechnen werden gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner häufig durchgestrichen.

Zum Kürzen kann man Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegen. Gleiche Primfaktoren werden dann paarweise aus Zähler und Nenner entfernt. Bei größeren Zahlen ist es oft einfacher, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) mit dem euklidischen Algorithmus zu bestimmen. Der ggT ist die größte Zahl, mit der sich ein gegebener Bruch kürzen lässt.

Typische Beispiele

6/8 lässt sich mit 2 kürzen:

6/8 = (3 · 2)/(4 · 2) = 3/4.

200/8800 lässt sich mit 200 kürzen:

200/8800 = (1 · 200)/(44 · 200) = 1/44.

Die Beispiele zeigen, dass Kürzen Brüche deutlich vereinfachen und dadurch weitere Rechnungen erleichtern kann.

Verallgemeinerung auf andere Strukturen

Das Kürzen ist nicht auf rationale Zahlen beschränkt, sondern folgt allgemein aus der Art, wie Brüche definiert werden. Deshalb kann man auch in beliebigen Quotientenkörpern Brüche kürzen.

Wird ein Ring R mit einer multiplikativen Teilmenge S lokalisiert, können Brüche aus R_S nur mit Elementen aus S gekürzt und erweitert werden.