Rationalisierung (Bruchrechnung)

Grundidee der Rationalisierung

Rationalisierung, auch Rationalisieren oder rational Machen, ist eine Technik der elementaren Algebra. Dabei wird eine irrationale Zahl, etwa eine Wurzel oder eine komplexe Zahl, im Zähler oder Nenner eines Bruches beseitigt und durch einen gleichwertigen Ausdruck mit ausschließlich rationalen Zahlen ersetzt.

Die zu beseitigende Zahl liegt meist als Monom, also als einzelner Term, oder als Binom, also als Summe beziehungsweise Differenz zweier Terme, vor. Man erweitert den Bruch mit einem passend gewählten Faktor: Zähler und Nenner werden mit demselben Faktor multipliziert. Der Wert des Bruches bleibt dadurch unverändert. In den folgenden Formeln steht r für eine beliebige reelle Zahl.

Monomischer Nenner

Für einen Bruch mit einer einzelnen allgemeinen Wurzel im Nenner gilt bei n > m:

r/ⁿ√(xᵐ)

Man erweitert mit ⁿ√(xⁿ⁻ᵐ). Dadurch ergänzen sich die Exponenten unter der Wurzel zu n:

r/ⁿ√(xᵐ) · ⁿ√(xⁿ⁻ᵐ)/ⁿ√(xⁿ⁻ᵐ) = r·ⁿ√(xⁿ⁻ᵐ)/ⁿ√(xⁿ) = r·ⁿ√(xⁿ⁻ᵐ)/x.

Damit enthält der Nenner keine Wurzel mehr.

Binomischer Nenner

Bei einem binomischen Nenner erweitert man mit dessen konjugiertem Binom. Das konjugierte Binom entsteht hier durch den Wechsel des Rechenzeichens zwischen den beiden Termen. Die Methode verwendet die dritte binomische Formel (a + b)(a − b) = a² − b².

Für den Bruch r/(√x + √y) ist das konjugierte Binom √x − √y. Daher gilt:

r/(√x + √y) · (√x − √y)/(√x − √y) = r(√x − √y)/(x − y).

Die Wurzeln verschwinden im Nenner, weil (√x)² − (√y)² = x − y ist.

Komplexe Zahlen

Auch eine komplexe Zahl im Nenner lässt sich vermeiden. Für z = a + ib wird der Kehrwert 1/z mit der konjugiert komplexen Zahl z̄ = a − ib erweitert:

1/(a + ib) = (a − ib)/((a + ib)(a − ib)) = (a − ib)/(a² + b²).

Getrennt nach Realteil und Imaginärteil ergibt sich:

1/z = a/(a² + b²) − i·b/(a² + b²).

Das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl ist somit der reelle Ausdruck a² + b².

Rationalisierung des Zählers

Das Rationalisieren des Nenners spielt die größere Rolle. In der Analysis kann jedoch das Rationalisieren des Zählers hilfreich sein, besonders bei der Berechnung von Grenzwerten mit zunächst unbestimmten Ausdrücken.

Beim Grenzwert

limₓ→₀ (√(r + x) − √r)/x

führt das direkte Einsetzen von x = 0 zum unbestimmten Ausdruck 0/0. Man erweitert mit dem konjugierten Ausdruck √(r + x) + √r. Mithilfe der dritten binomischen Formel wird der Zähler zu (r + x) − r = x. Dieses x kann gegen das x im Nenner gekürzt werden:

limₓ→₀ 1/(√(r + x) + √r) = 1/(2√r).

Nutzen der Methode

Manche mathematische Konventionen verlangen, Brüche möglichst ohne Wurzeln im Nenner darzustellen. Außerdem kann die Rationalisierung die numerische Berechnung solcher Brüche vereinfachen. In vielen Fällen ermöglicht sie erst das weitere Rechnen, unabhängig davon, ob der Nenner oder der Zähler rationalisiert wird.