Deskriptive Statistik

Ziel und Grundidee

Die deskriptive oder beschreibende Statistik stellt empirische Daten, zum Beispiel Ergebnisse aus Experimenten, übersichtlich dar und ordnet sie. Dazu verwendet sie Tabellen, Kennzahlen beziehungsweise Maßzahlen oder Parameter sowie Grafiken. Das ist besonders bei umfangreichen Datenmengen wichtig, die sonst nur schwer zu überblicken sind.

Die deskriptive Statistik beschreibt ausschließlich die untersuchten Daten. Sie macht keine Aussagen über eine über die untersuchten Fälle hinausgehende Grundgesamtheit und überprüft keine Hypothesen.

Abgrenzung zu anderen Teilgebieten

Neben der deskriptiven Statistik gibt es die explorative Statistik und die mathematische beziehungsweise schließende, inferentielle oder induktive Statistik.

Die explorative oder erkundende Statistik sucht bisher unbekannte Strukturen und Zusammenhänge in Daten und entwickelt daraus neue Hypothesen. Ihre Methoden sind meist dieselben wie in der deskriptiven Statistik; der Unterschied liegt vor allem im Ziel der Analyse.

Die schließende Statistik untersucht auf Stichprobendaten beruhende Hypothesen mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden auf ihre Allgemeingültigkeit. Dafür verwendet sie stochastische Modelle und kann Aussagen durch Fehlerwahrscheinlichkeiten absichern. Die deskriptive Statistik verwendet solche Modelle nicht. Ihre Methoden können daher bei jeder Art von Stichproben angewandt werden, während die induktive Statistik unter anderem Anforderungen an die Stichprobenziehung stellt.

Darstellungsformen und ihre Eigenschaften

Zur Darstellung von Daten gibt es im Wesentlichen drei Methoden:

• Tabellen stellen Daten in einer Matrix aus Zeilen und Spalten dar, sofern die Datenstruktur dies erlaubt. Üblicherweise entspricht eine Zeile einer Beobachtung und eine Spalte einer Variablen. Tabellen enthalten viele Informationen, sind aber selbst bei kleinen Datensätzen oft schwer zu überblicken. Das Umordnen von Zeilen oder Spalten kann helfen.

• Diagramme und Grafiken stellen Daten oder bestimmte Aspekte davon anschaulich dar. Dafür müssen Daten meist zusammengefasst werden, wodurch Informationen verloren gehen können. In einem Streudiagramm lässt sich zum Beispiel die Relation zwischen zwei Variablen erkennen; die Anzahl der Beobachtungen mit gleichen numerischen Werten kann durch Overplotting verloren gehen.

• Parameter, auch Maßzahlen oder Kennzahlen, reduzieren einen Aspekt der Daten auf eine einzige aggregierte Zahl. Um den dadurch entstehenden Informationsverlust auszugleichen, werden meist viele unterschiedliche Parameter berechnet.

Bei der Aggregation der Daten ist die Tabelle niedrig, das Diagramm mittel und der Parameter hoch. Bei der Übersichtlichkeit gilt dieselbe Abstufung: Tabelle niedrig, Diagramm mittel, Parameter hoch. Beim Informationsgehalt ist es umgekehrt: Tabelle hoch, Diagramm mittel, Parameter niedrig.

Statistische Kenngrößen und Beispiele

Drei Arten von Kenngrößen sind besonders wichtig:

• Lagemaße beschreiben die zentrale Tendenz einer Häufigkeitsverteilung. Aus der Lage der verschiedenen Werte der zentralen Tendenz zueinander lassen sich Schiefe und Exzess einer Häufigkeitsverteilung bestimmen.
• Streuungsmaße beschreiben die Variabilität, also Streuung oder Dispersion, einer Häufigkeitsverteilung.
• Zusammenhangsmaße beschreiben den Zusammenhang beziehungsweise die Korrelation zwischen zwei Variablen.

Welche Kenngröße geeignet ist, hängt vom Skalen- oder Messniveau der Daten und von der Robustheit der Kenngröße ab.

Typische Anwendungen sind die Darstellung der Durchschnittstemperatur und der Temperaturschwankungen einer Region durch Mittelwert und Streuung, die Angabe, wie oft bestimmte Temperaturen überschritten werden, etwa durch ein Quantil, sowie Vergleiche zwischen Regionen oder Zeiträumen mithilfe von Tabellen und Grafiken. Ebenso können die Abschlussnoten zweier Schuljahrgänge in einem Fach anhand ihrer Mittelwerte und Streuungen verglichen werden.

Ein weiteres Beispiel ist eine Urne mit fünf roten und vier blauen Kugeln. Werden drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und bezeichnet X die Anzahl der roten Kugeln unter den drei gezogenen Kugeln, so ist X hypergeometrisch verteilt. Dabei ist M=5 die Anzahl der roten Kugeln, N=9 die Gesamtzahl der Kugeln und n=3 die Anzahl der Versuche. Aus diesen Angaben können alle Informationen über die Verteilung von X gewonnen werden.