Mittelwert

Grundidee und Bedeutung

Ein Mittelwert, kurz auch Mittel oder Durchschnitt, ist eine Zahl, die aus gegebenen Zahlen nach einer bestimmten Rechenvorschrift berechnet wird. Er soll einen typischen Wert eines Datensatzes beschreiben und gehört in der Statistik zu den Lageparametern, also zu Größen, die die zentrale Tendenz einer Verteilung ausdrücken. Mit „Mittel“ oder „Durchschnitt“ ist meistens das arithmetische Mittel gemeint.

Vom Erwartungswert ist der Mittelwert zu unterscheiden: Ein Mittelwert wird aus konkreten vorliegenden Zahlen berechnet. Der Erwartungswert beschreibt dagegen, welcher Wert nach einer theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erwarten ist. Wenn ein Datensatz eine Stichprobe aus der Verteilung einer Zufallsvariablen ist, ist das arithmetische Mittel ein erwartungstreuer und konsistenter Schätzer des Erwartungswertes. Bei der Normalverteilung ist der Mittelwert besonders wichtig, weil diese durch die ersten beiden Momente vollständig festgelegt ist.

Das arithmetische Mittel lässt sich anschaulich mit einer Wippe darstellen: Gleich schwere Kugeln liegen an verschiedenen Positionen auf einem Balken. Der Punkt, an dem der Balken im Gleichgewicht ist, entspricht dem arithmetischen Mittel der Kugelpositionen, wenn das Gewicht des Balkens vernachlässigt wird.

Drei klassische Mittelwerte

Für gegebene reelle Zahlen x_1, ..., x_n, etwa Messwerte, sind drei klassische Mittelwerte besonders wichtig.

Das arithmetische Mittel ist die Summe der Werte geteilt durch ihre Anzahl: \bar{x}_arithm = (1/n) * Summe von i=1 bis n x_i = (x_1 + x_2 + ... + x_n) / n. Es eignet sich, wenn Werte über ihre Summe zusammengefasst werden.

Das geometrische Mittel wird verwendet, wenn Zahlen nicht über ihre Summe, sondern über ihr Produkt interpretiert werden, zum Beispiel bei Wachstumsfaktoren. Man multipliziert alle Werte und zieht die n-te Wurzel: \bar{x}_geom = n-te Wurzel aus Produkt von i=1 bis n x_i = n-te Wurzel aus x_1 x_2 ... x_n.

Das harmonische Mittel wird verwendet, wenn die Zahlen in Bezug auf eine Einheit definiert sind, etwa bei bestimmten Durchschnittsgeschwindigkeiten. Es ist die Anzahl der Werte geteilt durch die Summe ihrer Kehrwerte: \bar{x}_harm = n / Summe von i=1 bis n (1/x_i) = n / (1/x_1 + 1/x_2 + ... + 1/x_n).

Gemeinsame Idee und Beispiele

Die drei klassischen Mittelwerte können über eine gemeinsame Idee verstanden werden: Man sucht eine Zahl m, die alle Einzelwerte in einer passenden Rechenart ersetzt, ohne das Gesamtergebnis zu ändern.

Beim arithmetischen Mittel gilt m + m + ... + m = n * m = x_1 + x_2 + ... + x_n. Es mittelt also bezüglich der Summe. Beim geometrischen Mittel gilt m * m * ... * m = m^n = x_1 * x_2 * ... * x_n. Es mittelt bezüglich des Produkts. Beim harmonischen Mittel gilt 1/m + 1/m + ... + 1/m = n/m = 1/x_1 + 1/x_2 + ... + 1/x_n.

An den Werten 3, 2, 2, 2, 3, 4, 5 zeigt der Artikel unterschiedliche Anwendungen. Als Geschwindigkeiten über gleich lange Zeiten ergeben sie mit dem arithmetischen Mittel eine Durchschnittsgeschwindigkeit von (3 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5) m / 7 h = 21 m / 7 h = 3 m/h.

Werden dagegen gleiche Strecken betrachtet und die Werte als Geschwindigkeiten je Streckenabschnitt verstanden, ist das harmonische Mittel sinnvoll. Für 7 Meter und eine Gesamtzeit von 157/60 Stunden ergibt sich 7 m / (157/60 h) ≈ 2,68 m/h.

Beim geometrischen Mittel können dieselben Werte als Wachstumsfaktoren verstanden werden. Für die Faktoren 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2 ist das geometrische Mittel die 7-te Wurzel aus 1440, also ungefähr 2,83. Ein tägliches Wachstum um den Faktor 2,83 hätte nach sieben Tagen denselben Endbestand ergeben.

Zusammenhänge und Vergleich

Zwischen den Mittelwerten bestehen feste Beziehungen. Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist gleich dem arithmetischen Mittel der Kehrwerte der Zahlen. Für n = 2 gilt außerdem: x_harm = x_geom^2 / x_arithm und damit x_geom = Wurzel aus (x_arithm * x_harm).

Für positive Variablen gilt die Ungleichung der Mittelwerte. Das geometrische Mittel liegt nie über dem arithmetischen Mittel und nie unter dem Minimum: min(x_1, ..., x_n) <= \bar{x}_geom <= \bar{x}_arithm <= max(x_1, ..., x_n). Erweitert mit dem harmonischen Mittel gilt: min(x_1, ..., x_n) <= \bar{x}_harm <= \bar{x}_geom <= \bar{x}_arithm <= max(x_1, ..., x_n). Für zwei positive Variablen wird diese Beziehung auch geometrisch veranschaulicht; dabei gilt \bar{x}_geom^2 = \bar{x}_harm * \bar{x}_arithm.

Neben Mittelwerten gibt es weitere Maße der zentralen Tendenz. Der Median teilt einen sortierten Datensatz in zwei Hälften. Bei ungerader Anzahl ist er x_((n+1)/2), bei gerader Anzahl ist er 1/2 * (x_(n/2) + x_(n/2+1)). Der Modus ist der Wert mit der höchsten Häufigkeit. Gegenüber dem Median ist der Mittelwert anfälliger für Ausreißer und daher weniger robust.

Weitere Mittelwerte

Gewichtete Mittelwerte entstehen, wenn einzelne Werte unterschiedlich stark in das Gesamtmittel eingehen, zum Beispiel wenn mündliche und schriftliche Leistungen bei einer Prüfung verschieden gewichtet werden. Es gibt gewichtete arithmetische, geometrische und harmonische Mittel.

Das quadratische Mittel ist definiert als \bar{x}_quadr = Wurzel aus ((1/n) * Summe von i=1 bis n x_i^2). Das kubische Mittel ist \bar{x}_kubisch = dritte Wurzel aus ((1/n) * Summe von i=1 bis n x_i^3).

Der logarithmische Mittelwert zweier Werte x_a und x_b ist \bar{x}_{a,b,ln} = (x_b - x_a) / ln(x_b / x_a) = (x_b - x_a) / (ln(x_b) - ln(x_a)). Für x_a != x_b liegt er zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel; für x_a = x_b ist er wegen Division durch null nicht definiert.

Bei Ausreißern können getrimmte oder winsorisierte Mittel verwendet werden. Beim getrimmten Mittel sortiert man die Daten und entfernt gleich viele Werte am Anfang und Ende. Bei 10 sortierten Werten ist das 10-%-getrimmte Mittel (x_2 + x_3 + ... + x_9) / 8. Beim winsorisierten Mittel werden die Randwerte nicht entfernt, sondern durch die nächstgrößeren beziehungsweise nächstkleineren verbleibenden Werte ersetzt; für 10 Werte lautet das 10-%-winsorisierte Mittel (x_2 + x_2 + x_3 + ... + x_9 + x_9) / 10. Üblicherweise wird ein 20-%-getrimmtes Mittel verwendet, wobei 40 % der Daten unberücksichtigt bleiben.

Weitere robuste oder spezielle Mittel sind das Quartilsmittel, also (\tilde{x}_0,25 + \tilde{x}_0,75) / 2, die Bereichsmitte (min_i x_i + max_i x_i) / 2 und das Gastwirth-Cohen-Mittel, das Quantile und den Median gewichtet kombiniert. Gleitende Durchschnitte werden bei zeitlich geordneten Messwerten eingesetzt, um stochastisches Rauschen aus Signalen zu filtern; Beispiele sind Simple Moving Average (SMA), Exponential Moving Average (EMA), Double EMA (DEMA), Triple EMA (TEMA), linear oder quadratisch gewichtete Durchschnitte sowie adaptive Formen wie KAMA und VIDYA.

Verallgemeinerungen und Funktionen

Viele Mittelwerte lassen sich als Spezialfälle allgemeinerer Mittelwertbegriffe auffassen. Das Hölder-Mittel oder der k-Potenzmittelwert für positive Zahlen x_i ist \bar{x}(k) = k-te Wurzel aus ((1/n) * Summe von i=1 bis n x_i^k). Für k = 0 wird der Wert durch stetige Ergänzung definiert: \bar{x}(0) = lim_{k -> 0} \bar{x}(k). Für k = -1, 0, 1, 2, 3 ergeben sich harmonisches, geometrisches, arithmetisches, quadratisches und kubisches Mittel. Für k -> -unendlich erhält man das Minimum, für k -> +unendlich das Maximum. Je größer k ist, desto größer ist bei festen x_i der Potenzmittelwert. Daraus folgt die verallgemeinerte Ungleichung: min <= harmonisch <= geometrisch <= arithmetisch <= quadratisch <= kubisch <= max.

Das Lehmer-Mittel zur Stufe p ist L_p(a_1, ..., a_n) = (Summe von k=1 bis n a_k^p) / (Summe von k=1 bis n a_k^(p-1)). Spezialfälle sind unter anderem das Minimum für p -> -unendlich, das harmonische Mittel bei p = 0, das arithmetische Mittel bei p = 1 und das Maximum für p -> +unendlich. Für zwei Werte ist L_{1/2}(a_1, a_2) das geometrische Mittel.

Weitere Verallgemeinerungen sind das Stolarsky-Mittel zweier Zahlen a und c sowie die Integraldarstellung nach Chen. Dort liefert die Funktion f(t) = (Integral von a bis b x^(t+1) dx) / (Integral von a bis b x^t dx) für verschiedene t bekannte Mittelwerte: f(-3) = 2ab/(a+b) ist harmonisch, f(-3/2) = Wurzel aus ab ist geometrisch, f(0) = (a+b)/2 ist arithmetisch. Aus Stetigkeit und Monotonie folgt eine Kette von Ungleichungen, in der unter anderem harmonisches, geometrisches, logarithmisches, heronisches und arithmetisches Mittel geordnet sind.

Auch Funktionen können gemittelt werden. Das arithmetische Mittel einer integrierbaren Funktion f(x) auf [a,b] ist (1/(b-a)) * Integral von a bis b f(x) dx. Das quadratische Mittel einer stetigen Funktion ist die Wurzel aus (1/(b-a)) * Integral von a bis b f(x)^2 dx. In der Technik sind diese Begriffe unter anderem als Gleichwert und Effektivwert wichtig.