Einheitskreis

Grundidee und Definition

Der Einheitskreis ist in der Mathematik der Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Im kartesischen Koordinatensystem besteht seine Kreislinie aus genau den Punkten (x,y) der euklidischen Ebene, die die Gleichung x^2+y^2=1 erfüllen. Diese Kurve ist identisch mit der eindimensionalen Einheitssphäre S^1.

Zur Kreislinie gehört die Einheitskreisscheibe: Die Menge aller Punkte (x,y) mit x^2+y^2<=1 heißt abgeschlossene Einheitskreisscheibe, weil sie in der euklidischen Topologie der Ebene eine abgeschlossene Menge ist. Ihr Inneres ist die offene Einheitskreisscheibe; sie besteht aus allen Punkten (x,y), für die x^2+y^2<1 gilt.

Trigonometrische Bedeutung

Der Einheitskreis verbindet Geometrie und trigonometrische Funktionen. Liegt ein Punkt P auf dem Einheitskreis, kann man den Winkel phi zur x-Achse definieren, unter dem P vom Ursprung aus gesehen wird. Für die Koordinaten (x_p,y_p) gilt dann: x_p=cos phi, y_p=sin phi und y_p/x_p=tan phi.

Die bekannten Beziehungen aus dem rechtwinkligen Dreieck lauten: sin phi = Gegenkathete/Hypotenuse, cos phi = Ankathete/Hypotenuse, tan phi = Gegenkathete/Ankathete und cot phi = Ankathete/Gegenkathete. Der Kotangens cot ist also der Kehrwert des Tangens, soweit die entsprechenden Größen definiert sind. Zusätzlich gibt es Sekans und Kosekans; sie sind als Kehrwertfunktionen von Kosinus und Sinus definiert.

Anschaulich kann der Tangens am Einheitskreis als orientierte Länge einer Tangente verstanden werden: Es ist die Länge der Tangente an den Kreis, die senkrecht auf der x-Achse steht, bis zum Scheitelpunkt des Winkels.

Darstellung mit komplexen Zahlen

Mithilfe der eulerschen Identität lässt sich der Einheitskreis auch in der komplexen Zahlenebene beschreiben. Dabei wird jeder Punkt des Kreises durch einen Winkel phi parametrisiert. Die Darstellung lautet: S^1={e^(i phi) | phi in [0,2pi)}.

Diese Schreibweise bedeutet: Wenn phi alle Werte im Intervall [0,2pi) durchläuft, entstehen genau die Punkte des Einheitskreises in der komplexen Ebene. Der Winkel 2pi selbst wird nicht mehr mit aufgenommen, weil er denselben Punkt wie 0 beschreibt.

Rationale Parametrisierung

Alle Punkte des Einheitskreises lassen sich auch ohne trigonometrische Funktionen finden. Dazu wählt man eine beliebige reelle Zahl t und betrachtet die Gerade durch (-1,0) und (0,t). Ein Schnittpunkt dieser Geraden mit dem Einheitskreis ist (-1,0). Der andere Schnittpunkt hat die Koordinaten ((1-t^2)/(1+t^2), 2t/(1+t^2)).

Wenn t alle reellen Zahlen durchläuft, läuft dieser Punkt den ganzen Kreis ab. Der Punkt (-1,0) wird dabei allerdings nicht für ein endliches t erreicht, sondern nur im Grenzübergang t -> +/- unendlich.

Für rationale Zahlen t=p/q führt diese Parametrisierung durch elementare Umformungen zu pythagoräischen Tripeln. Ein solches Tripel ist (q^2-p^2, 2pq, q^2+p^2). Es steht im Zusammenhang mit der Gleichung des rechtwinkligen Dreiecks, bei der die Quadrate der beiden Katheten zusammen das Quadrat der Hypotenuse ergeben.

Andere Normen

Die Form des Einheitskreises hängt davon ab, welche Norm zur Abstandsmessung verwendet wird. Eine Norm ist eine Vorschrift, mit der man die Länge oder den Abstand eines Vektors misst. Bei der gewöhnlichen euklidischen Norm ist der Einheitskreis rund und erfüllt x^2+y^2=1.

Verwendet man statt der euklidischen Norm eine andere Norm, sieht der Einheitskreis im kartesischen Koordinatensystem anders aus. Für die Maximumsnorm ist der Einheitskreis ein Quadrat mit den Ecken (+/-1,+/-1). Für die Summennorm ist der Einheitskreis ein Quadrat mit den Ecken (+/-1,0) und (0,+/-1).

Eine abweichende Orientierung wird bei der Windrose verwendet: Dort liegt 0° oben, und 90° zeigt nach rechts, also nach Osten.