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Sinus und Kosinus am Einheitskreis – einfach erklärt
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 51 Zeilen
- Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch Schritt für Schritt zeigen, wie man mit dem Einheitskreis arbeiten kann und dann auch diese ganzen Werte hier am
- Einheitskreis ganz einfach ablesen kann. Lass uns mal damit starten, was der Einheitskreis überhaupt ist und wie man ihn zeichnen kann. Der Einheitskreis ist
- ein Kreis. Also, wenn wir mal ein Koordinatensystem hier hinzeichnen mit einer X-Achse und einer Y-Achse, dann zeichnen wir hier ins Zentrum einen
- Kreis und zwar einmal hier schön drumherum. Ja, perfekt. Und dieser Kreis muss immer Radius 1 haben. Also vom Mittelpunkt zum Kreisrand landen wir
- hier bei der 1. Genauso hier vom Mittelpunkt zum Kreisrand bei der 1. Hier haben wir auch Radius 1, aber hier sind wir im negativen Bereich. auf der
- X-Achse. Also sind wir hier bei -1 und hier genauso vom Mittelpunkt zum Kreisrand hier runter ins Negative, da landen wir bei -1, also immer 1 1 -1 -1.
- Und jetzt haben wir ja schon gesehen, dass wir die Werte von Sinus und Cosinus hier am Einheitskreis irgendwie ablesen können. Auf der X-Achse finden wir immer
- die Werte vom Cosinus und auf der Y-Achse finden wir immer die Werte vom Sinus. Und es ist auch ganz wichtig, dass man das nicht vertauscht. Also
- Cosinus auf der X-Achse, Sinus auf der y-Achse. Und dann startet man immer an dieser Stelle hier und läuft dann auf dieser Kreislinie entlang, je nachdem,
- welcher Winkel in der Aufgabenstellung gegeben ist. Lass uns das mal direkt mit dem ersten Beispiel testen. Da können wir es nämlich mit Zahlen machen. Wir
- wollen den Cosinus von 90° berechnen. Das ist unser Winkel, der uns interessiert und auch den Sinus von 90°. Also, es geht jetzt hier um den Winkel
- 90°. Wir haben unseren Einheitskreis schon gezeichnet. Den muss man natürlich dann immer wissen, wie er aussieht. Und wir
- wissen, man startet immer an dieser Stelle und trägt jetzt diesen Winkel hier ab. Also 90° laufen wir von dieser Stelle aus nach oben los. Also 90°
- Winkel wäre bis hier hin, damit wir hier dazwischen einen 90° Winkel abgetragen haben. Und da, wo wir rauskommen, diese Stelle interessiert uns. An dieser
- Stelle können wir jetzt den Cosinuswert von 90° und den Sinuswert von 90° ablesen. Also dieser Punkt, den wir da oben markiert haben, den nenne ich mal
- P. Und von dem brauchen wir einfach nur die beiden Koordinaten. Die x-Koordinate hilft uns den Cosinus zu finden und die Y-Koordinate hilft uns den Sinus zu
- finden. Deswegen ist es ganz wichtig, dass ihr die beiden nicht vertauscht. Wie sieht's mit der X-Koordinate von diesem Punkt hier oben aus?
- X-Koordinate heißt, wie viel sind wir nach rechts oder nach links gelaufen, um hier an dieser Stelle zu landen? Und dadurch, dass wir uns hier auf der
- Y-Achse befinden, sind wir weder irgendwas nach rechts noch irgendwas nach links gelaufen. Wir haben uns von rechts nach links überhaupt nicht
- bewegt. Deswegen ist meine X Koordinate in diesem Punkt 0. Wie sieht's mit meiner Yordinate in diesem Punkt aus? Das ist ja, wie viel bin ich nach oben
- oder nach unten gelaufen, um hier zu landen? Na ja, vom Ursprung sind wir eins nach oben gelaufen, um hier anzukommen. Also ist meine y Koordinate
- 1. Einfach die Koordinaten von diesem Punkt ablesen in diesem Koordinatensystem. Und diese beiden Werte sind jetzt sofort
- meine Werte für den Cosinus und den Sinus. Cosinus haben wir gesagt, ist der XWert, also mein X-Wert von meinem Punkt hier war 0. Also ist mein Cosinuswert 0
- und mein Sinuswert ist auf der y-Achse. Also ist meine y Koordinate in diesem Punkt. Dieses 1, also kommt die 1 hier rein. Ist am Anfang ein bisschen
- gewöhnungsbedürftig, aber wir starten einfach direkt weiter mit dem nächsten Beispiel, um uns da dran zu gewöhnen. Diesmal haben wir einen neuen Winkel 0°
- hier. Sinus und Cosinus. Diese Werte wollen wir finden. Wir haben unseren Einheitskreis schon gezeichnet. Wir wissen, wir starten immer an dieser
- Stelle. Und dann tragen wir den Winkel ab, der uns interessiert. Diesmal sind es 0°. Okay, 0° heißt, ich bewege mich gar
- nicht. Also, ich gehe gar nicht nach oben. Ich bleibe einfach an dieser Stelle um diesen Winkel. 0° soll es gehen. Und das ist dann auch der Punkt,
- an dem ich meine Koordinaten ablesen muss. Ich brauche die x Koordinate für meinen Cosinuswert und die y Koordinate für meinen Sinuswert.
- Welche x-Koordinate habe ich hier in diesem Punkt? Also, wie viel bin ich nach rechts oder nach links gelaufen, um hier zu landen? Das ist 1 nach rechts
- gelaufen, also ist 1 meine x-Koordinate und damit sofort mein Cosinuswert von meinem Winkel 0°. Also die 1 kann ich hier direkt eintragen. Und den
- Sinuswert, um den zu finden, da muss ich jetzt wissen, wie ist d meine y Koordinate in diesem Punkt? Also, wie viel bin ich nach oben oder nach unten
- gelaufen, um hier zu landen? Ich habe mich gar nicht nach oben oder nach unten bewegt. Also diesmal ist meine y Koordinate 0. Und das ist dann sofort
- mein Sinuswert von diesem Winkel. Also die Null kann ich sofort hier eintragen. Lasst uns direkt mit unserem dritten Beispiel weitermachen.
- 180° ist diesmal der Winkel, der uns interessiert. Wir wissen, okay, das wissen wir jetzt sofort. Wir starten hier. 180° wollen wir eintragen. Das
- heißt, 180° wissen wir, ist ein Halbkreis, also werden wir hier letztendlich landen. Das hier sind 180°.
- Dieser Punkt interessiert mich also, um meinen Cosinus und Sinuswert herausfinden zu können. Welche Koordinaten habe ich hier in diesem
- Punkt? meine X Koordinate zuerst. Also, wie viel muss ich nach links oder nach rechts laufen, um hier zu landen vom
- Ursprung aus? Ich musste zur -1 gehen, um hier anzukommen. Also ist meine x-Koordinate -1 und die y-koordinate. Wie bin ich nach
- oben oder nach unten gelaufen, um hier zu landen? Ich habe mich gar nicht bewegt. Ich bin ja immer noch auf der x-Achse unterwegs. Also ich bin nicht
- nach oben oder auch nicht nach unten gelaufen. Also ist meine ykoordinate 0. Die X-Koordinate liefert mir meinen Cosinus, also Cosinus ist -1 in diesem
- Fall. Und Sin y Koordinate, wie ich nach oben oder nach unten gelaufen bin. Das ist meine Null hier in dem Fall und das sind die beiden Werte. Das waren alle
- Beispiele, aber ich wollte euch noch ein Spezialfall zeigen, falls eure Aufgabenstellung so aussehen sollte, dass ihr das hier schon gegeben habt in
- der Aufgabenstellung. Also, es ist ein 30° Winkel eingezeichnet und ihr bekommt die Koordinaten von diesem Punkt gegeben,
- weil hier in diesem Zwischenraum kann man die Koordinaten nicht gut ablesen. Da weiß man nicht, wo man sich befindet. Die Koordinaten sind immer nur einfach
- von diesen Winkeln hier abzulesen, aber alles, was dazwischen liegt, sollte dann in der Aufgabenstellung gegeben sein. Ist es ja auch. Und wir sollen den
- Cosinus von 30° und den Sinus von 30° berechnen. Na gut, 30° sind ja gegeben. Den Cosinus finde ich immer mit der X Koordinate. Also weiß ich Cosinus von
- 30° sind meine Wurzel von 3/BE und den Sinus von 30° finde ich dann mit der y Koordinate in diesem Punkt. Das ist die ein/b. Und dann kann ich das
- ganz einfach so ablesen. Ich hoffe, es ist klar geworden, wie man mit dem Einheitskreis arbeiten kann. Natürlich kann man noch einiges mehr machen, aber
- das waren schon mal die Grundlagen. Ähm, falls ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir
- sehen uns beim nächsten Video. Macht's gut. M.
Zum Nachlesen
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