Differentialgleichung

Grundidee und Bedeutung

Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung für eine Funktion einer oder mehrerer Variablen, in der mindestens eine Ableitung dieser Funktion vorkommt. Zusätzlich können die Funktion selbst und ihre unabhängigen Variablen enthalten sein. Gesucht sind Funktionen, die beim Einsetzen in die Differentialgleichung die Gleichung erfüllen.

Differentialgleichungen sind ein wichtiges Werkzeug der mathematischen Modellierung. Viele Naturgesetze und zahlreiche Vorgänge in Naturwissenschaften, Technik, Wirtschaft und Informatik lassen sich durch sie beschreiben. Beispiele sind Bewegungen und Schwingungen, Wärmeleitung, chemische Reaktionen, Wachstum, Strömungen, elektrische Netzwerke sowie wirtschaftliche Wachstumsprozesse.

Eine geschlossene, also durch eine exakte Formel angegebene Lösung ist meist nur in einfachen Fällen möglich. Deshalb untersucht die mathematische Lösungstheorie allgemeine Eigenschaften von Lösungen, insbesondere deren Existenz, Eindeutigkeit, Darstellung und Stabilität. Für praktische Anwendungen werden Lösungen häufig näherungsweise mit numerischen Verfahren berechnet.

Wichtige Typen und Formen

Hängt die gesuchte Funktion nur von einer Variablen ab, spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Es treten dann gewöhnliche Ableitungen nach dieser einen Variablen auf, zum Beispiel y'(x) = −2 · y(x) + 5 oder z̈(t) + 4 · z(t) = sin(3 · t).

Eine gewöhnliche Differentialgleichung für y(x) heißt implizit, wenn sie die Form F(x, y(x), y'(x), …, y⁽ⁿ⁾(x)) = 0 besitzt. Ist sie nach der höchsten Ableitung aufgelöst, also y⁽ⁿ⁾(x) = f(x, y(x), y'(x), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(x)), heißt sie explizit. Die höchste vorkommende Ableitungsordnung n ist die Ordnung der Differentialgleichung. Eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung hat die Gestalt y'(x) = f(x, y(x)). Nicht jede implizite Differentialgleichung lässt sich explizit schreiben; explizite Gleichungen sind in Anwendungen mathematisch einfacher zu behandeln.

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist linear, wenn die Funktion und alle ihre Ableitungen linear vorkommen. Ihre allgemeine Form ist y⁽ⁿ⁾(x) + aₙ₋₁(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + ··· + a₀(x)y(x) = b(x). Sie ist semilinear, wenn die linke Seite in der Funktion und ihren Ableitungen linear ist, während die rechte Seite zusätzlich von y und seinen Ableitungen, jedoch nicht von der höchsten Ableitung, abhängen kann.

Hängt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab und treten partielle Ableitungen nach mehr als einer Variablen auf, liegt eine partielle Differentialgleichung vor. Ein Beispiel ist die Wärmeleitungsgleichung für u(t, x): ∂u(t, x)/∂t = a · ∂²u(t, x)/∂x².

Bei partiellen Differentialgleichungen unterscheidet man lineare, quasilineare, semilineare und vollständig-nichtlineare Formen. Bei linearen Gleichungen gehen die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen linear ein; die Abhängigkeit von den unabhängigen Variablen darf dennoch nichtlinear sein. Quasilinear bedeutet, dass die Ableitungen höchster Ordnung linear auftreten, die Funktion und Ableitungen niedrigerer Ordnung aber nicht unbedingt. Eine quasilineare partielle Differentialgleichung heißt semilinear, wenn die Koeffizienten vor den höchsten Ableitungen nicht von der unbekannten Funktion und deren niedrigeren Ableitungen abhängen. Sind auch die höchsten Ableitungen nicht linear enthalten, spricht man von einer nichtlinearen oder vollständig-nichtlinearen partiellen Differentialgleichung. Besonders untersucht werden partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung; für sie gibt es weitere Klassifikationen.

Weitere Formen und Problemstellungen

Neben gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen gibt es weitere Typen. Stochastische Differentialgleichungen enthalten stochastische Prozesse und sind im eigentlichen Sinn Differentialrelationen, die als Differentialgleichungen interpretiert werden. Algebro-Differentialgleichungen verbinden Differentialgleichungen mit algebraischen Nebenbedingungen. Bei retardierten Differentialgleichungen treten neben Funktionswerten und Ableitungen zum Zeitpunkt t auch Werte oder Ableitungen aus der Vergangenheit auf. Integro-Differentialgleichungen enthalten zusätzlich Integrale der Funktion; als wichtiges Beispiel wird die Schrödingergleichung in der Impulsdarstellung, eine Fredholm'sche Integralgleichung, genannt.

Ein System von Differentialgleichungen liegt vor, wenn y = (y₁, …, yₖ) eine vektorwertige Abbildung ist und mehrere Gleichungen gleichzeitig erfüllt werden müssen: Fₗ(x, y, Dy, …, Dⁿy) = 0 für l = 1, …, k. Lässt sich ein solches implizites System nicht überall lokal in ein explizites System umwandeln, handelt es sich um eine Algebro-Differentialgleichung.

Differentialgleichungen sind im Allgemeinen nicht eindeutig lösbar. Deshalb werden zusätzliche Anfangs- oder Randwerte benötigt. Bei Anfangswertproblemen wird eine Variable als Zeit interpretiert und es werden Daten zu einem Anfangszeitpunkt vorgegeben. Bei Randwertproblemen wird eine Lösung in einem beschränkten oder unbeschränkten Gebiet gesucht; die Randwerte sind am Rand des Gebietes festgelegt. Bei partiellen Differentialgleichungen können Anfangsrandwertprobleme auftreten. Je nach Art der Randbedingungen unterscheidet man beispielsweise Dirichlet-Probleme und Neumann-Probleme.

Analytische und numerische Lösung

Eine allgemein gültige Lösungsmethode gibt es wegen der Vielfalt der Gleichungen und Problemstellungen nicht. Für explizite gewöhnliche Differentialgleichungen existiert eine geschlossene Lösungstheorie. Eine Differentialgleichung heißt integrabel, wenn sie analytisch gelöst werden kann, also eine Lösungsfunktion beziehungsweise ein Integral angegeben werden kann. Viele mathematische Probleme, besonders nichtlineare und partielle Differentialgleichungen, sind nicht integrabel. Dazu gehören unter anderem die Differentialgleichungen des Dreikörperproblems, des Doppelpendels und der meisten Kreiseltypen.

Ein allgemeiner strukturierter Ansatz nutzt Symmetrien und die kontinuierliche Gruppentheorie. Sophus Lie stellte 1870 die Theorie der Differentialgleichungen mithilfe der Lie-Theorie auf eine allgemeingültige Grundlage. Lie-Gruppen fassen ältere Lösungstheorien zusammen. Bei Symmetriemethoden werden kontinuierliche infinitesimale Transformationen verwendet, die Lösungen auf andere Lösungen derselben Differentialgleichung abbilden. Lie-Gruppen, Lie-Algebren und Differentialgeometrie helfen dabei, die Struktur linearer und nichtlinearer, auch partieller, Differentialgleichungen zu untersuchen und exakte analytische Lösungen zu finden.

Für die numerische Approximation werden Raum und Zeit meist durch ein Rechengitter in endlich viele Teile zerlegt. Dieser Vorgang heißt Diskretisierung. Ableitungen werden durch Differenzen angenähert; der entstehende Fehler wird untersucht und möglichst gut abgeschätzt. Das Eulerverfahren, das Euler 1768 in seinem Buch Institutiones Calculi Integralis vorstellte, ist ein frühes Verfahren. Bei partiellen Differentialgleichungen verwendet man je nach Gleichung unter anderem Finite-Differenzen-, Finite-Volumen- oder Finite-Elemente-Verfahren. Nach der Diskretisierung enthält die Gleichung keine Ableitungen mehr, sondern algebraische Ausdrücke. Daraus entsteht entweder eine direkte Rechenvorschrift oder ein lineares beziehungsweise nichtlineares Gleichungssystem, das numerisch gelöst wird.

Wie gut Existenz, Eindeutigkeit, Darstellung und numerische Berechnung verstanden sind, hängt stark von der jeweiligen Gleichung ab. Die numerische Lösung, besonders bei partiellen Differentialgleichungen, ist teilweise weiter entwickelt als ihre theoretische Begründung. Ein Millennium-Problem ist der Existenzbeweis einer regulären Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen, die unter anderem in der Strömungsmechanik auftreten.

Anwendungen und Grenzen der Modellierung

Differentialgleichungen beschreiben zahlreiche Phänomene in Natur und Technik. In der Physik modellieren sie unter anderem Bewegungsgleichungen und Schwingungen der newtonschen Mechanik, das Belastungsverhalten von Bauteilen, die Elektrodynamik durch die Maxwell-Gleichungen und die Quantenmechanik durch die Schrödingergleichung. In der Astronomie beschreiben sie Bahnen von Himmelskörpern und Turbulenzen im Inneren der Sonne.

Weitere Anwendungen liegen in der Biologie, etwa bei Wachstum, Strömungen, Vorgängen in Muskeln und in der Evolutionstheorie, sowie in der Chemie bei der Kinetik von Reaktionen. In der Elektrotechnik beschreiben sie Netzwerke mit energiespeichernden Elementen, in der Differentialgeometrie das Verhalten von Flächen und in der Strömungsmechanik Strömungsvorgänge. In der Ökonomie dienen sie der Analyse wirtschaftlicher Wachstumsprozesse. In der Informatik können sie beispielsweise beim Image-Inpainting eingesetzt werden, also beim Herausrechnen von Schrift oder Logos aus Bildern.

Eine Beschreibung durch Differentialgleichungen setzt voraus, dass ein System algebraisch beschrieben und quantifiziert werden kann und dass die verwendeten Funktionen in den betrachteten Bereichen zumindest differenzierbar sind. Diese Voraussetzungen sind im naturwissenschaftlich-technischen Bereich häufig, aber nicht immer erfüllt. Wenn ein System nicht auf diese Weise erfasst werden kann, muss seine Struktur auf einer höheren Abstraktionsebene beschrieben werden. Als solche Ebenen werden in aufsteigender Abstraktion Systemtheorie, Ontologie der Informatik, Ontologie der Philosophie, formale Begriffsanalyse und Ordnungsrelation genannt.