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Differentialgleichung lösen – DGL 1. Ordnung, Anfangswertproblem, Trennung der Variablen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 63 Zeilen
- hi in diesem Video möchte ich zusammen mit euch dieses Anfangswert Problem lösen dazu müssen wir aber als allererstes diese Differentialgleichung
- lösen und erst nachdem wir eine Lösung eine allgemeine Lösung für diese Differenzialgleichung gefunden haben dann kümmern wir uns um diesen
- Anfangswert was haben wir hier wir haben eine Differentialgleichung erster Ordnung weil wir hier ja nur die erste Ableitung von Y betrachten und es ist
- auch eine homogene Differenzialgleichung weil hier kein Plus X noch steht also es sind nur Teile mit Y wirklich drin also irgendwas mit X mal y und kein einzelner
- Teil nur mit X das heißt sie ist relativ gut zu lösen und zwar werden wir das mit der Trennung der veränderlichen machen also Trennung der Variablen das heißt
- alles mit X kommt auf eine Seite alles mit Y kommt auf die andere Seite aber y- müssen wir zuallererst mal noch umschreiben die Schreibweise habt ihr
- bestimmt schon gesehen das kann kann ja auch schreiben als dy durch DX und die andere Seite bleibt einfach so stehen das hier ist ja einfach nur die
- mathematische Schreibweise für y- und jetzt bringen wir alles mit X auf die eine Seite alles mit Y auf die andere Seite das heißt wir
- multiplizieren zuerst mal mit DX damit es darüber hüpft dann steht da nur die y = Wurzel x man y mal DX und jetzt müssen wir noch durch y teilen damit wirklich
- alles mit Y links ist und alles mit X rechts ist das heißt das steht die y durch y und rechts der Rest nur ohne das Y jetzt würde ich euch immer noch
- vorschlagen weil wir werden diese Sachen jetzt gleich integrieren wenn dieses dy hier in so einem Bruch dann noch mit drin steht schreibt das einzeln also
- schreibt dieses 1 durch y vorne dran und erst dann das dy hinten dran damit ihr wirklich wisst wie eure Funktion aussieht die ihr zu integrieren habt und
- da rechts passt ja soweit alles okay das ist jetzt die Trennung der veränderlichen gewesen wir haben alles mit Y links alles mit X rechts jetzt
- wollen wir das Ganze nach y auflösen das Problem ist nur wir haben hier dieses dy und TX da drin wie eben schon erwähnt wir müssen integrieren diese Zeile steht
- jetzt noch mal hier und einfach auf beiden Seiten das Integral anwenden 1 durch y die Stammfunktion davon wäre ja LN vom Betrag von Y also diese Seite
- kann man ja ganz gut integrieren vergesst nicht dass da jetzt noch Integrationskonstanten dazu kommen also plus irgendeine konstante die wenn wir
- eben keine Grenzen beim integral haben ja noch mit dazugehören und auf der anderen Seite genauso da wird auch eine konstante dazukommen wenn wir Wurzel aus
- x integrieren das Schreiben auf am besten erstmal um das kann man ja zu x^1/2 umschreiben und wenn wir das dann integrieren wird die Hochzahl um 1
- erhöht also ein halb plus 1 gerechnet das sind dann drei halbe und vorne dran steht ja diese 1 durch die neue Hochzahl also 1 durch die drei halbe vergesst
- nicht die zweite integrationskonstante noch hinten dran zu machen das ist dann eine andere C1 hier auf der Seite C2 auf der anderen Seite wenn wir eben keine
- Grenzen bei unserem integr haben jetzt wollen wir das ganze hier nach y auflösen denn das sind ja unsere Lösungen für unsere
- Differenzialgleichung dazu würde ich zuallererst mal die eine konstante auf die andere Seite bringen also minus C1 rechnen dann steht da noch der
- Logarithmus von Y Betrag von Y wäre dann und dieses eins durch drei halbe das könnte man auch mal zu zwei Drittel umformen und den Rest schreiben wir so
- hin beziehungsweise plus T2 und noch minus C1 diese Konstanten hier man will natürlich nicht ein Haufen einzelner konstanten haben da ist ja sowieso
- einfach Konstanten sind die wir gar nicht kennen können wir die auch zu einer einzigen konstante zusammenfassen und die nennen wir einfach C dann steht
- da Ellen Betrag von Y = und jetzt [Musik]
- genau das steht ja noch als plus da das können wir dann erstmal noch so stehen lassen ich dachte ich wäre schon einen Schritt weiter die stehen jetzt einfach
- nur mit einem Plus C hinten dran gut das ist das was auch auf der nächsten Seite steht wie können wir hier jetzt weitermachen wir wollen immer noch
- nach y auflösen und das können wir jetzt machen indem wir auf beiden Seiten die e-Funktion anwenden damit sich der LN ja gerade weghebt das heißt hier steht nur
- noch der Betrag von Y und rechts haben wir eben e hoch diese ganze Seite also e hoch zwei Drittel und das ganze Zeug hinten dran
- wir wollen immer noch nach y auflösen das heißt der Betrag muss gleich weggehen aber lasst uns ganz kurz mal noch mit dieser konstanten hier schauen
- die steht ja hier mit einem Plus C im Exponenten wir hätten die gerne aber als Faktor und nicht da oben drin deswegen ziehen wir diese
- Hochzahlen sozusagen auseinander das können wir ja machen in dem wir den ersten Teil der Hochzahl hinschreiben und dann aber
- multiplizieren mit der Basis und dann hoch C das ist die ganz normale Anwendung des potenzgesetzes wenn ihr sowas hier habt dann könnt ihr das ja
- auseinander ziehen als x Quadrat mal x hoch 3 also wirklich einfach die Hochzahl auseinander gezogen und jetzt ist es so
- dass E hoch C an sich ist ja auch schon wieder eine konstante weil e ist eine konstante hoch eine andere Konstante ist wieder eine konstante deswegen würden
- wir das hier jetzt einfach auch noch mal als neue konstante festlegen die könnt ihr im Grunde nennen wie ihr wollt
- ihr könnt sie auch einfach noch mal Zähnen also bleibt ruhig bei einer konstanten das ist halt irgendeine konstante ihr könnt es aber auch falls
- es euch irgendwie irritiert könnt ihr auch kan nennen oder wie auch immer auf jeden Fall ich nenne jetzt einfach mal C weil es mein Mann das normalerweise so
- macht und ich Vermerke mir hier jetzt nur das C größer als 0 sein wird denn e hoch irgendeine Konstante ist ja immer positiv also der Teil hier den ich als C
- bin dann benannt habe der ist immer größer 0 das heißt meine Gleichung sieht mittlerweile so aus dieses C das schreibt man normalerweise vorne dran
- also nicht mal C hinten dran sondern einfach vorne dran zehn Mal e hoch das ganze Zeug was fehlt jetzt noch
- naja ich will nach y auflösen habe hier momentan aber noch den Betrag stehen was macht der Betrag überhaupt entweder das Y ist positiv dann darf ich die
- Betragsstriche sowieso weglassen und die Gleichung bleibt oder das Y wäre negativ wenn das so wäre würde da ja minus y rauskommen wenn man dann den Betrag
- nimmt und dann ich schreibe es mal die rechte Seite da ändert sich ja nichts dran hin so was ist jetzt los wenn ich jetzt nach y
- auflösen wollte dann könnte ich ja mit -1 multiplizieren damit das Minus hier wegkommt was verändert sich nur das C wird angepasst es wird dann halt negativ
- weil es vorher ja positiv war also kann ich im Grunde sagen ach das ist mir alles viel zu kommt nicht zu kompliziert aber da sich sowieso nur das C ändern
- wird bei dem ganzen also diese Konstante lasse ich jetzt einfach alle reellen Zahlen für das C zu weil ich das da schon drin verpackt habe dann sozusagen
- also wenn ich den Betrag auflöse sorgt das einfach nur dafür dass ich statt alle positiven Zahlen für mein Ziel zuzulassen
- nehme ich einfach noch alle negative Zahlen mit dazu weil es ja sein kann dass das Y auch negativ ist und dann wirkt sich das halt eben auf das Zeh aus
- also so können sich eure konstanten die sind echt wichtig in dem ganzen Prozess dann verändern und haltet einfach im Hinterkopf oder schreibt es ruhig hin
- was für eure konstanten dann in dem Fall gilt und das hier ist jetzt meine allgemeine Lösung für meine Differentialgleichung vom Anfang ich
- habe selbst geschafft nach y aufzulösen und da steht halt jetzt noch dieses C mit drin das ist die allgemeine Gleichung wenn ihr kein Anfangswert
- bekommen habt dann seid Ihr hier jetzt fertig wir haben aber noch einen Anfangswert bekommen nämlich y von 4 ist 1 das hier ist jetzt die Lösung die wir
- eben gefunden haben und in die müsst ihr jetzt einfach nur noch den Anfangswert eintragen und zwar ist das was hier drin steht das ist ja euer x und das was hier
- rauskommt soll oder Y sein das packt ihr dann hier also einfach in die gleich rein also für Y die 1 das C suchen wir ja und für das X schreibt er die 4 rein
- und das da löst jetzt einfach nach C auf wenn ihr erstmal die Hochzahl ausrechnet kommt da 16/3 raus und wenn ihr dann durch E hoch 16/3 rechnet steht da C =
- 0,004 8 und für dieses anfangswertsproblem wäre dann also y = 0,0048 mal dieses ganze Zeug von der
- e-Funktion das wäre dann die Lösung zu eurem Anfangswert Problem zu diesem ganz speziellen zu dieser Bedingung die ihr bekommen habt die allgemeine Lösung der
- Differentialgleichung wäre das da was wir da hatten sehr gut dann hoffe ich dass ihr jetzt wisst wie man solche homogenen
- Differenzialgleichungen löst mit der Trennung der Variablen und dann integrieren und mit diesen Integrationskonstanten immer wieder die
- Sachen zusammenfassen und schauen dass er möglichst nur eine von diesen konstanten dann mitzieht dann habt es natürlich nicht so schwierig sehr gut so
- funktioniert das Ganze falls ihr Fragen habt dann meldet euch einfach in den Kommentaren