Wärmeleitungsgleichung

Grundidee und Formulierung

Die Wärmeleitungsgleichung, auch Diffusionsgleichung, ist eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung der Wärmeleitung. Sie verbindet die zeitliche Änderung der Temperatur mit ihrer räumlichen Verteilung in einem Körper und dient zur Berechnung instationärer, also zeitabhängiger, Temperaturfelder. Sie ist ein typisches Beispiel einer parabolischen Differentialgleichung.

In einem homogenen Medium lautet sie

∂u(x⃗,t)/∂t − aΔu(x⃗,t) = 0.

Dabei ist u(x⃗,t) die Temperatur am Ort x⃗ zur Zeit t, Δ der Laplace-Operator bezüglich des Ortes und a > 0 die Temperaturleitfähigkeit. In der mathematischen Literatur setzt man häufig a = 1; dann schreibt man kurz ∂u/∂t = Δu. Im stationären Fall ist die Zeitableitung null, sodass die Laplace-Gleichung Δu = 0 entsteht.

Für einen dünnen, im Vergleich zu seiner Länge langen Stab genügt eine Raumdimension. Dann wird der Laplace-Operator zur zweiten Ableitung nach x:

∂u(x,t)/∂t − a ∂²u(x,t)/∂x² = 0.

Ist die zweite räumliche Ableitung an einer Stelle nicht null, unterscheiden sich die ersten Ableitungen unmittelbar vor und hinter ihr. Nach dem Fourierschen Gesetz unterscheiden sich damit auch der zufließende und der abfließende Wärmestrom; die Temperatur an dieser Stelle muss sich folglich ändern.

Wärmequellen und Herleitung

Bei zusätzlichen Wärmequellen, etwa Joulescher Wärme oder einer chemischen Reaktion, lautet die inhomogene Gleichung

∂u(x⃗,t)/∂t − aΔu(x⃗,t) = f(x⃗,t).

Die rechte Seite f ist der Quotient aus der volumenbezogenen Wärmequelldichte – der pro Volumen und Zeit erzeugten Wärmemenge – und der volumenbezogenen Wärmekapazität. Diese ist das Produkt aus Dichte und massebezogener Wärmekapazität. Im stationären Fall geht die inhomogene Gleichung in die Poisson-Gleichung über.

Die Herleitung betrachtet die Wärmebilanz eines kleinen Volumenelements mit Volumen V. Für ein abgeschlossenes System ohne Volumenarbeit gilt nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik dU = δQ. Die Kontinuitätsgleichung der inneren Energie ist

∂q/∂t + ∇⃗·q⃗ = 0.

Dabei bezeichnet δq = δQ/V die Änderung der Wärmedichte. Die Wärmestromdichte lautet nach dem Fourierschen Gesetz q⃗ = −λ∇⃗T, wobei λ die Wärmeleitfähigkeit und T die Temperatur ist.

Für die Wärmekapazität gilt Q = CT = cmT, mit der Masse m, der spezifischen Wärmekapazität c und der Wärmekapazität C. Volumenbezogen folgt q = cρT mit der Dichte ρ. Unter den Annahmen eines homogenen Materials sowie fehlenden Massentransports und fehlender Wärmestrahlungsverluste erhält man

cρ ∂T/∂t − ∇⃗·(λ∇⃗T) = cρ ∂T/∂t − λΔT = 0.

Mit der Temperaturleitfähigkeit a = λ/(ρc) wird daraus ∂T/∂t − aΔT = 0.

Fundamentallösung und Cauchyprobleme

Eine besondere Lösung heißt Fundamentallösung oder Wärmeleitungskern (englisch heat kernel). Im eindimensionalen Fall ist sie

H(x,t) = 1/√(4πat) · exp(−x²/(4at)).

Im n-dimensionalen Fall lautet sie

H(x⃗;t) = 1/(4πat)^(n/2) · exp(−||x⃗||²/(4at)),

wobei ||x⃗||² = Σ(k=1 bis n) xₖ² das Quadrat der euklidischen Norm ist. Die Form von H entspricht einer Gauß’schen Normalverteilung mit σ² = 2at.

Für das homogene Cauchyproblem werden Anfangsdaten u₀ zum Zeitpunkt t = 0 vorgegeben, also u(x⃗,0) = u₀(x⃗). Für t > 0 ergibt sich die Lösung durch Faltung des Wärmeleitungskerns mit den Anfangsdaten:

u(x⃗,t) = (H * u₀)(x⃗,t) = ∫ über ℝⁿ H(x⃗−y⃗,t)u₀(y⃗) d y⃗.

Für die inhomogene Gleichung mit Null-Anfangsdaten u₀(x⃗) = 0 wird die rechte Seite f mit H gefaltet:

u(x⃗,t) = (H * f)(x⃗,t) = ∫₀ᵗ ∫ über ℝⁿ H(x⃗−y⃗,t−s)f(y⃗,s) d y⃗ d s.

Wegen der Linearität erhält man bei beliebigen Anfangsdaten die allgemeine Lösung durch Addition beider Anteile:

u(x⃗,t) = ∫ über ℝⁿ H(x⃗−y⃗,t)u₀(y⃗) d y⃗ + ∫₀ᵗ ∫ über ℝⁿ H(x⃗−y⃗,t−s)f(y⃗,s) d y⃗ d s.

Thermische Wellen und Temperaturausgleich

Eine Lösung der homogenen Wärmeleitungsgleichung ist

u(x,t) = e^(−kx) sin(ωt−kx)

mit ω > 0 und k = √(ω/(2a)). Sie beschreibt beispielsweise eine weite, dicke, ebene Wand: An ihrer Oberfläche x = 0 ändert sich die Temperatur periodisch nach sin(ωt), während die Temperaturschwankung mit zunehmender Tiefe x ≥ 0 durch den Faktor e^(−kx) abnimmt. Solche Verläufe heißen thermische Wellen.

Ein Symmetrieansatz für homogene Gleichungen ist u(x,t) = v(x/√(4at)) für t > 0. Er führt auf die gewöhnliche Differentialgleichung v''(ξ) = −2ξv'(ξ). Mit w = v' erhält man eine Differentialgleichung erster Ordnung mit getrennten Veränderlichen. Die allgemeine Lösung ist

v(ξ) = c₁ erf(ξ) + c₂,

wobei erf die Fehlerfunktion ist. Damit lautet eine Lösungsschar u(x,t) = c₁u₁(x,t) + c₂ mit

u₁(x,t) = erf(x/√(4at)) für x ∈ ℝ und t > 0.

Es gilt u₁(0,t) = 0 sowie lim(t→0+) u₁(x,t) = 1 für x > 0 und −1 für x < 0. Dies beschreibt zwei gleiche, wärmeisolierte zylindrische Stäbe entlang der positiven beziehungsweise negativen x-Achse. Sie haben zunächst die einheitlichen Temperaturen 1 und −1 und werden bei x = 0 zum Zeitpunkt 0 zusammengefügt.

Wichtige Eigenschaften klassischer Lösungen

Das Maximumprinzip besagt: Der maximale Temperaturwert über Raum und Zeit wird entweder zu Beginn des betrachteten Zeitintervalls oder am Rand des betrachteten Raumbereichs angenommen. Es drückt mathematisch aus, dass Wärme nicht aus dem Nichts entsteht. Diese Eigenschaft gilt allgemein für parabolische partielle Differentialgleichungen.

Außerdem besitzt die Wärmeleitungsgleichung eine Glättungseigenschaft. Selbst wenn u zum Zeitpunkt t = t₀ räumlich eine Unstetigkeitsstelle hat, ist u für jeden Zeitpunkt t > t₀ stetig im Raum. Werden beispielsweise zwei Metallstücke unterschiedlicher Temperatur bei t = t₀ fest verbunden, stellt sich nach diesem Modell an der Verbindungsstelle schlagartig die mittlere Temperatur ein; der Temperaturverlauf wird stetig durch beide Werkstücke.