George Boole

Bedeutung und Hauptleistung

George Boole (2. November 1815–8. Dezember 1864) war ein englischer Mathematiker, Logiker und Philosoph. Bekannt ist er vor allem, weil die für die Computertechnik grundlegende boolesche Algebra nach ihm benannt wurde. Boole erkannte als Erster, dass sich die Aussagenlogik als Algebra mit zwei Elementen auffassen lässt, die heute den zwei Wahrheitswerten entsprechen. Damit begann eine Entwicklung, durch die die traditionelle aristotelische Logik abgelöst und die Logik in die Mathematik integriert wurde.

In The Mathematical Analysis of Logic von 1847 entwickelte Boole den ersten algebraischen Logikkalkül. Er formalisierte die klassische Logik und die Aussagenlogik, also die Untersuchung von Aussagen und ihrer Verknüpfung durch logische Operatoren. Außerdem entwickelte er ein Entscheidungsverfahren für wahre Formeln mithilfe einer disjunktiven Normalform. Eine Normalform ist eine standardisierte Darstellung logischer Ausdrücke. Da aus der Entscheidbarkeit der klassischen Logik ihre Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit folgt, nahm Boole damit für ein zentrales Gebiet der Logik die Lösung von Problemen vorweg, die David Hilbert erst ungefähr 70 Jahre später zum Gegenstand seines Programms machte.

Booles ursprünglicher Logikkalkül

Boole verwendete die gewöhnliche Algebra, die heute als Potenzreihen-Ring über dem Körper der reellen Zahlen präzisiert wird, und bettete in sie die klassische Logik ein. Die logischen Grundoperationen definierte er algebraisch:

• UND: x ∧ y = xy
• NICHT: ¬x = 1 − x
• Idempotenz: xx = x für alle logischen Terme x

Idempotenz bedeutet, dass die wiederholte Anwendung eines Terms auf sich selbst denselben Term ergibt. Nicht jeder algebraische Ausdruck besitzt in diesem Kalkül eine logische Bedeutung. Wegen 2 · 2 ≠ 2 ist beispielsweise die Summe 1 + 1 logisch sinnlos. Boole bezeichnete x + y deshalb als uninterpretierbar. Die Addition ist im logischen Bereich nur eine partielle Operation. Daher sprach Boole bei logischen Termen und Operatoren von „elective symbols“, „elective functions“ und „elective equations“.

Der logische Bereich ist jedoch operativ abgeschlossen: Aus idempotenten Unbestimmten, der 1, der Multiplikation und der Negation entstehen wieder logische Terme. Deshalb lassen sich insbesondere die beiden Disjunktionen definieren:

• Einschließendes ODER: x ∨ y = x + y − xy = 1 − (1 − x)(1 − y) = ¬(¬x ∧ ¬y)
• Ausschließendes ODER: x ⊕ y = x − 2xy + y

Für das ausschließende ODER gilt außerdem:

x ⊕ y = x(1 − y) + y(1 − x) − x(1 − y)y(1 − x) = (x ∧ ¬y) ∨ (y ∧ ¬x).

Booles ODER-Definition liefert die Axiome der späteren booleschen Algebra, seine ENTWEDER-ODER-Definition die Axiome des späteren booleschen Rings. Dabei sind die Additionen ⊕ und + strikt zu unterscheiden.

Klassenlogik und Aussagenlogik

Boole entwarf seinen Kalkül zunächst als Begriffs- oder Klassenlogik. Dabei steht 1 für das Universum beziehungsweise die Allklasse, während x, y, z und weitere Unbestimmte Klassen oder Begriffe darstellen. Die scholastische Syllogistik, also die Lehre von Schlussformen wie dem Syllogismus, stellte er durch Gleichungssysteme dar. Grundlegende Aussagen formulierte er so:

• ALLE x SIND y: xy = x, gleichwertig zu x(1 − y) = 0
• KEINE x SIND y: xy = 0

Sekundär verwendete Boole denselben Kalkül als Aussagenlogik. In dieser Deutung repräsentieren x, y, z und weitere Unbestimmte Aussagen, während 1 und 0 die Wahrheitswerte darstellen:

• x IST WAHR: x = 1
• x IST FALSCH: x = 0

Sein algebraisches Entscheidungsverfahren über eine Normalform ergänzte Boole durch ein gleichwertiges semantisches Verfahren. Dabei werden Wahrheitswerte in boolesche Funktionen eingesetzt, die jedem belegten logischen Term einen Wahrheitswert zuordnen. Dieses Verfahren entspricht dem Entscheidungsverfahren mit Wahrheitstafeln, das zur Ermittlung von Tautologien dient. Eine Tautologie ist eine Formel, die bei jeder möglichen Belegung wahr ist.

Modifikationen: boolesche Algebra und boolescher Ring

Die heute als boolesche Algebra bezeichnete Struktur ist nicht unmittelbar Booles ursprüngliche Algebra, sondern ein von seinen Nachfolgern entwickelter boolescher Verband. 1864 entfernte William Stanley Jevons die logisch sinnlosen mathematischen Terme aus Booles Kalkül und gab der Addition eine logische Bedeutung als inklusives ODER. Dafür führte er die Regel x + x = x ein. Boole war mit dieser Uminterpretation nicht einverstanden, weil dadurch die Regeln der gewöhnlichen Algebra verletzt werden: In der üblichen Algebra folgt aus x + x = x nämlich x = 0. Die Modifikation setzte sich dennoch durch; Ernst Schröder formulierte dazu 1877 das erste vollständige Axiomensystem, und Giuseppe Peano brachte es 1888 in eine moderne nicht-additive Form.

Eine andere Modifikation bewahrt die üblichen Rechenregeln für die Addition und schließt zugleich alle Terme im logischen Bereich ab. Dann gilt wegen der Idempotenz insbesondere (x + 1)(x + 1) = x + 1. Daraus folgt x + x = 0 und damit auch −x = x. Die Addition erhält in diesem System die Bedeutung des exklusiven ENTWEDER-ODER. Iwan Iwanowitsch Schegalkin gab diese Variante 1927 zusammen mit einer vollständigen Axiomatisierung an. Marshall Harvey Stone verlieh dem daraus entstehenden System 1936 den Namen boolescher Ring.

Boolesche Ringe sind rechnerisch besonders einfach, weil die schulbekannten Rechenregeln gelten. Die für die Entscheidbarkeit einer Formel notwendige Normalform entsteht durch distributives Ausmultiplizieren sowie das Streichen doppelter Faktoren und Summanden mithilfe von xx = x und x + x = 0. Beide späteren Kalkülvarianten sind bereits in Booles Originalkalkül enthalten, weil sich ihre Axiomensysteme aus seinen Definitionen ableiten lassen.

Biografischer Rahmen und wichtige Schriften

Boole besuchte nur die Grundschule und eignete sich Altgriechisch, Französisch und Deutsch selbstständig an. Mit 16 Jahren wurde er Hilfslehrer, mit 19 Jahren gründete er eine eigene Schule. Obwohl er keine Universität besucht hatte, wurde er aufgrund seiner wissenschaftlichen Arbeiten 1848 Mathematikprofessor am Queens College in Cork. 1844 erhielt er die Royal Medal der Royal Society; 1857 wurde er Fellow der Royal Society.

Boole starb am 8. Dezember 1864 im Alter von 49 Jahren in Ballintemple in der Grafschaft Cork an einer fiebrigen Erkältung; als Todesursache wurde Pleuraerguss angegeben. Zuvor war er trotz strömenden Regens zwei Meilen zur Universität gegangen und hatte dort in durchnässter Kleidung Vorlesung gehalten.

Seine wichtigsten logischen Werke sind The Mathematical Analysis of Logic von 1847 und An Investigation of the Laws of Thought von 1854. Außerdem veröffentlichte er A Treatise on Differential Equations (1859) und A Treatise on the Calculus of Finite Differences (1860).