Basis (Vektorraum)

Begriff, Darstellung und Koordinaten

Eine Basis eines Vektorraums V ist eine Teilmenge B, mit deren Vektoren sich jeder Vektor aus V eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt. Die dabei auftretenden Koeffizienten heißen Koordinaten des Vektors bezüglich B. Ein Element der Basis heißt Basisvektor; in Vektorräumen aus Funktionen spricht man auch von Basisfunktionen. Zur Abgrenzung von anderen Basisbegriffen wird eine solche Basis Hamelbasis genannt.

Für eine Teilmenge B von V sind folgende Aussagen gleichwertig:

• Jeder Vektor aus V besitzt genau eine Darstellung als Linearkombination von Vektoren aus B.

• B ist ein minimales Erzeugendensystem: Seine lineare Hülle ist V, aber nach Entfernung eines beliebigen Elements wird V nicht mehr erzeugt.

• B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge: Fügt man einen weiteren Vektor aus V hinzu, ist die neue Menge linear abhängig.

• B ist zugleich linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von V.

Eine Basis kann als B={b_i: i∈I} mit einer Indexmenge I beschrieben werden. Häufig verwendet man die Familienschreibweise b=(b_i)_{i∈I}. Bei einer endlichen Basis schreibt man etwa b=(b_1,…,b_n). Ist I geordnet, entsteht eine geordnete Basis; diese Ordnung wird unter anderem zur Beschreibung der Orientierung oder Händigkeit eines Vektorraums verwendet.

Die Koordinaten gehören zum zugrunde liegenden Körper K, beispielsweise ℝ oder ℂ. Für b=(b_i){i∈I} hat der Koordinatenvektor die Form x=(x_i){i∈I} und liegt im Koordinatenraum K^I. Bei I={1,…,n} ist x=(x_1,…,x_n) und der Koordinatenraum K^n, also bei reellen beziehungsweise komplexen Vektorräumen ℝ^n beziehungsweise ℂ^n. Entscheidend ist, jede Koordinate eindeutig ihrem Basisvektor zuzuordnen. Ein Basiswechsel verändert daher die Koordinaten und erfordert eine Koordinatentransformation.

Eigenschaften und zentrale Sätze

Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. Außerdem haben alle Basen desselben Vektorraums gleich viele Elemente. Diese Anzahl heißt Dimension und kann auch eine unendliche Kardinalzahl sein.

Eine Menge {b_1,…,b_k} in einem K-Vektorraum V bestimmt eindeutig die lineare Abbildung K^k→V mit e_i↦b_i, wobei e_i der i-te Standardeinheitsvektor ist. Diese Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die b_i linear unabhängig sind, genau dann surjektiv, wenn sie V erzeugen, und genau dann bijektiv, wenn sie eine Basis bilden.

Der Basisergänzungssatz besagt: Jede linear unabhängige Menge T⊂V kann zu einer Basis von V ergänzt werden. Das Austauschlemma von Steinitz liefert für endlichdimensionale Räume eine verwandte Aussage: Sind v_1,…,v_n eine Basis und ist w≠0 ein weiterer Vektor, so gibt es einen Index 1≤i≤n, für den v_1,…,v_{i−1},w,v_{i+1},…,v_n wieder eine Basis ist. Dies wird häufig verwendet, um die gleiche Anzahl von Vektoren in allen Basen eines Raums nachzuweisen.

Eine lineare Abbildung ist bereits durch die Bilder der Basisvektoren vollständig bestimmt. Umgekehrt definiert jede beliebige Abbildung einer Basis in einen anderen Vektorraum eindeutig eine lineare Abbildung. Man bezeichnet einen Vektorraum deshalb als freies Objekt über seiner Basis.

In einem d-dimensionalen Vektorraum über einem endlichen Körper mit q Elementen gibt es genau

(1/d!)·∏_{k=0}^{d−1}(q^d−q^k)

verschiedene Basen.

Typische Beispiele

Die Standardbasis der euklidischen Ebene ℝ² ist {(1,0),(0,1)}. Allgemein bilden zwei Vektoren in ℝ² genau dann eine Basis, wenn sie weder in dieselbe noch in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Die Standardbasis von K^n besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren (1,0,…,0), (0,1,0,…,0), …, (0,…,0,1).

Im Matrizenraum K^{m×n} bilden die Standardmatrizen eine Basis: In jeder von ihnen ist genau ein Eintrag 1, während alle übrigen Einträge 0 sind. Der Nullvektorraum {0} hat dagegen Dimension null und als einzige Basis die leere Menge.

Als ℝ-Vektorraum besitzt ℂ üblicherweise die Basis {1,i}. Eine Menge {a,b}⊆ℂ∖{0} ist genau dann eine Basis von ℂ über ℝ, wenn a/b keine reelle Zahl ist. Als ℚ-Vektorraum besitzt auch ℝ eine Basis, sie kann jedoch nicht explizit angegeben werden.

Der Vektorraum der Polynome über einem Körper besitzt die Basis {1,X,X²,X³,…}. Andere Basen, etwa die Legendre-Polynome, können für bestimmte Anwendungen praktischer sein.

Im Vektorraum aller reellen Zahlenfolgen sind die Folgen (1,0,0,…), (0,1,0,…), (0,0,1,…) zwar linear unabhängig, bilden aber keine Hamelbasis. Beispielsweise lässt sich (1,1,1,…) nicht als endliche Linearkombination daraus erzeugen. Eine unendliche Summe zählt bei einer Hamelbasis nicht als Linearkombination.

Warum die Definitionen gelten und Basen existieren

Die Gleichwertigkeit der vier Basiskennzeichnungen folgt aus einer Beweiskette. Eine eindeutige Darstellung macht B zunächst zu einem Erzeugendensystem. Wäre es nicht minimal, könnte ein entfernter Basisvektor sowohl durch die verbleibenden Vektoren als auch durch 1-mal sich selbst dargestellt werden; die Darstellung wäre dann nicht eindeutig. Ein minimales Erzeugendensystem muss linear unabhängig sein, denn ein von den anderen abhängiger Vektor könnte entfernt werden. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist maximal linear unabhängig, weil jeder zusätzlich aufgenommene Vektor bereits eine Linearkombination der vorhandenen Vektoren ist. Schließlich erzeugt jede maximale linear unabhängige Menge den gesamten Raum: Ein nicht erzeugter Vektor könnte hinzugefügt werden, ohne lineare Abhängigkeit hervorzurufen. Die Eindeutigkeit der Darstellung folgt wiederum aus der linearen Unabhängigkeit.

Die Existenz einer Basis wird mit dem Lemma von Zorn bewiesen. Man betrachtet die halbgeordnete Menge

P={X⊆V: X ist linear unabhängig}

mit der Inklusion ⊆. P ist nicht leer, weil die leere Menge linear unabhängig ist. Die Vereinigung jeder Kette C⊆P ist ebenfalls linear unabhängig und damit ein Element von P. Nach dem Lemma von Zorn besitzt P ein maximales Element. Dieses ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V und somit eine Basis. Beginnt man entsprechend nur mit linear unabhängigen Mengen, die eine vorgegebene Menge T enthalten, erhält man zugleich den Basisergänzungssatz. Der Existenzbeweis erklärt auch, warum Basen vorhanden sein können, obwohl sie sich nicht ausdrücklich angeben lassen.

Besondere Basisbegriffe

In reellen und komplexen Vektorräumen mit zusätzlicher topologischer oder geometrischer Struktur treten weitere Basisbegriffe auf. Sie sind von der Hamelbasis zu unterscheiden.

Im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum (ℝ³,·) gibt es zu jeder Basis b_1,b_2,b_3 genau eine duale Basis b^1,b^2,b^3 mit

b_i·b^j=δ_i^j,

wobei δ_i^j das Kronecker-Delta ist. Jeder Vektor v lässt sich damit schreiben als

v=∑{i=1}^3(v·b^i)b_i=∑{i=1}^3(v·b_i)b^i.

Bei einer Orthonormalbasis sind die Basisvektoren paarweise orthogonal und auf Länge eins normiert; dann stimmen Basis und duale Basis überein. Der dreidimensionale euklidische Vektorraum ist ein vollständiger Skalarproduktraum.

In Skalarprodukträumen und besonders in Hilberträumen verwendet man häufig vollständige Orthonormalsysteme, bei denen auch unendliche Summen, also Reihen, zugelassen sind. Eine solche Basis wird zur Unterscheidung Schauderbasis genannt. Eine Hamelbasis erzeugt dagegen jeden Vektor durch eine endliche Linearkombination. Beide Basisarten sind linear unabhängig.

In endlichdimensionalen reellen oder komplexen Skalarprodukträumen ist eine Orthonormalbasis zugleich Hamel- und Schauderbasis. In unendlichdimensionalen vollständigen Skalarprodukträumen ist eine Schauderbasis hingegen nie eine Hamelbasis und umgekehrt; eine Hamelbasis lässt sich dort häufig nicht einmal orthonormieren. In einem unendlichdimensionalen separablen Hilbertraum hat eine Hamelbasis überabzählbar viele Elemente, eine Schauderbasis dagegen abzählbar viele. Daher gibt es keinen Hilbertraum mit Hamel-Dimension ℵ₀. In Hilberträumen meint „Basis“ ohne Zusatz meist eine Schauderbasis, in Vektorräumen ohne Skalarprodukt eine Hamelbasis.

Eine Auerbachbasis ist eine Hamelbasis für einen dichten Unterraum eines normierten Vektorraums, bei der der Abstand jedes Basisvektors vom Erzeugnis der übrigen Vektoren gleich seiner Norm ist. Die Hamelbasis darf außerdem nicht allgemein mit der Basis eines Koordinatensystems gleichgesetzt werden; insbesondere bei krummlinigen Koordinaten können die Begriffe auseinanderfallen.