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Lineare Hülle
In der linearen Algebra ist die lineare Hülle (auch der Spann, Span [aus dem Englischen, von [linear] span], Aufspann, Erzeugnis oder Abschluss genannt) …
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Grundidee und Bedeutung
Die lineare Hülle einer Teilmenge A eines Vektorraums V über einem Körper K ist die Menge aller Vektoren, die sich als Linearkombinationen von Vektoren aus A darstellen lassen. Eine Linearkombination ist eine endliche Summe von Vektoren, die jeweils mit einem Skalar aus K multipliziert werden.
Die lineare Hülle ist ein Untervektorraum von V. Sie ist zugleich der kleinste Untervektorraum, der A enthält. Eine Menge A ist daher ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle.
Formale Definition
Für A ⊆ V gilt
⟨A⟩ = {∑ᵢ₌₁ⁿ λᵢaᵢ | λᵢ ∈ K, aᵢ ∈ A, n ∈ ℕ}.
Dabei dürfen beliebige Vektoren aᵢ aus A und Skalare λᵢ aus K gewählt werden; die Summe ist stets endlich.
Für eine endliche Menge A = {a₁, a₂, …, aₙ} vereinfacht sich dies zu
⟨{a₁, a₂, …, aₙ}⟩ = {λ₁a₁ + λ₂a₂ + … + λₙaₙ | λ₁, λ₂, …, λₙ ∈ K}.
Die lineare Hülle der leeren Menge ist der Nullvektorraum:
⟨∅⟩ = {0}.
Der Grund ist, dass die leere Summe von Vektoren definitionsgemäß den Nullvektor ergibt.
Gleichwertige Sichtweisen und Schreibweisen
Die lineare Hülle von A kann gleichwertig auf zwei weitere Arten beschrieben werden:
• Sie ist der kleinste Untervektorraum von V, der A enthält.
• Sie ist die Schnittmenge aller Untervektorräume U von V, die A enthalten.
Übliche Schreibweisen sind span(A), Span(A), ⟨A⟩, L(A), lin A und ℒ(A). Für eine endliche Menge A = {a₁, …, aₙ} schreibt man zur Vermeidung doppelter Klammern beispielsweise ⟨a₁, …, aₙ⟩, L{a₁, …, aₙ} oder ℒ{a₁, …, aₙ}.
Wichtige Eigenschaften
Für Teilmengen A und B eines K-Vektorraums V gelten:
• A ⊆ ⟨A⟩: Jeder Ausgangsvektor liegt in seiner linearen Hülle.
• Aus A ⊆ B folgt ⟨A⟩ ⊆ ⟨B⟩.
• ⟨A⟩ = ⟨⟨A⟩⟩: Erneutes Bilden der linearen Hülle ändert nichts.
Diese drei Aussagen charakterisieren die lineare Hülle als Hüllenoperator.
Für jeden Unterraum U gilt ⟨U⟩ = U. Ist eine Vektormenge ein Erzeugendensystem eines Unterraums, so ist dieser Unterraum genau ihre lineare Hülle.
Für zwei Unterräume U₁ und U₂ ist ihre Summe
U₁ + U₂ = {u₁ + u₂ | u₁ ∈ U₁, u₂ ∈ U₂}
gleich der linearen Hülle ihrer Vereinigung:
U₁ + U₂ = ⟨U₁ ∪ U₂⟩.
Auf der Menge T aller Unterräume eines Vektorraums bilden die Operation „lineare Hülle der Vereinigung“ und die dazu duale Schnittmengenbildung einen Verband.
Für Unterräume U und V gilt außerdem die Dimensionsformel
dim(U + V) + dim(U ∩ V) = dim U + dim V.
Typische Beispiele
Für einen einzelnen Vektor a ∈ ℝ² mit a ≠ (0,0) ist ⟨a⟩ eine Gerade durch den Ursprung. Sie besteht aus allen skalaren Vielfachen von a.
Die Vektoren (3,0,0) und (0,2,0) liegen in ℝ³. Ihre lineare Hülle ⟨(3,0,0), (0,2,0)⟩ ist die x-y-Ebene, weil ihre Linearkombinationen genau die Vektoren mit dritter Koordinate 0 ergeben.
Ein abstrakteres Beispiel liefert der Vektorraum K[[X]] der formalen Potenzreihen über K. Für die Menge der Monome A = {Xᵏ | k ∈ ℕ} ist die lineare Hülle der Unterraum der Polynome:
⟨A⟩ = {∑ᵢ₌₀ⁿ λᵢXⁱ | n ∈ ℕ, λ₀, …, λₙ ∈ K} = K[X].
Obwohl formale Potenzreihen unendlich viele Glieder haben können, enthält eine Linearkombination nur endlich viele Summanden; deshalb entstehen hier Polynome.
