Kardinalzahl (Mathematik)

Grundidee und Abgrenzung zu Ordinalzahlen

Kardinalzahlen verallgemeinern die natürlichen Zahlen: Sie beschreiben die Mächtigkeit, auch Kardinalität genannt, von Mengen. Bei einer endlichen Menge ist das einfach ihre Anzahl von Elementen. Georg Cantor beschrieb, wie sich dieses Konzept innerhalb der Mengenlehre auf unendliche Mengen übertragen lässt.

Die kleinste unendliche Mächtigkeit ist die der natürlichen Zahlen \mathbb {N}; sie heißt \aleph _{0}. Unendliche Mengen können aber verschiedene Mächtigkeiten besitzen. Unendliche Kardinalzahlen werden gewöhnlich mit \aleph und einem Index notiert.

Kardinalzahlen geben nur die Größe einer Menge an. Davon sind Ordinalzahlen zu unterscheiden: Sie beschreiben die Position von Elementen in einer geordneten Menge. Bei endlichen Mengen fallen Anzahl und Position zusammen, bei unendlichen nicht unbedingt.

Gleichmächtigkeit und formale Definition

Zwei Mengen X und Y heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion von X nach Y gibt. Eine Bijektion ordnet jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zu und umgekehrt. Man schreibt |X|=|Y| oder X\sim Y. Die Relation \sim ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse aller Mengen.

Zunächst kann man die Kardinalzahl |X| als Äquivalenzklasse aller zu X gleichmächtigen Mengen auffassen. Solche Kardinalzahlen sind jedoch, außer |\emptyset|, echte Klassen und keine Mengen.

Unter Verwendung des Wohlordnungssatzes, der zum Auswahlaxiom äquivalent ist, lässt sich jede Menge A zu einer wohlgeordneten Menge B gleichmächtig machen. Man wählt die kleinste mögliche zugehörige Ordinalzahl; B ist dann eine Anfangszahl. Diese kleinste Ordinalzahl kann als |A| verwendet werden. Dadurch ist die Kardinalität selbst wieder eine Menge. Kardinalzahlen sind dann total, sogar wohlgeordnet. Ohne Auswahlaxiom lässt sich dies nicht beweisen.

Vergleichen und Eigenschaften von Mächtigkeiten

|A|\leq |B| bedeutet: Es gibt eine Bijektion von A auf eine Teilmenge von B. |A|<|B| bedeutet zusätzlich, dass keine Bijektion von A nach B existiert.

Eine Menge M ist endlich, wenn es ein n\in\mathbb {N} gibt, sodass M genau n Elemente hat; bei n=0 ist sie leer, sonst gibt es eine Bijektion mit \{1,\dots,n\}. Sie ist unendlich, wenn kein solches n existiert. Abzählbar unendlich heißt sie, wenn sie zu \mathbb {N} bijektiv ist, also Mächtigkeit \aleph _0 hat. Abzählbar bedeutet: endlich oder abzählbar unendlich. Die Mächtigkeit der reellen Zahlen heißt \mathfrak {c}.

Unendliche Mengen sind genau die Mengen, die zu einer echten Teilmenge gleichmächtig sind. Das unterscheidet sie von endlichen Mengen, bei denen jede echte Teilmenge weniger mächtig ist.

Nach Cantors Diagonalbeweis hat die Potenzmenge \mathcal {P}(M), also die Menge aller Teilmengen von M, stets größere Mächtigkeit als M: |\mathcal {P}(M)|>|M|. Daher gibt es keine größte Kardinalzahl. Für endliche Mengen gilt |\mathcal {P}(M)|=2^{|M|}; auch bei unendlichen Mengen schreibt man 2^{|M|}:=|2^M|=|\mathcal {P}(M)|. Gleichmächtige Mengen haben gleichmächtige Potenzmengen.

Die reellen Zahlen und die Potenzmenge der natürlichen Zahlen sind gleichmächtig: \mathfrak {c}\equiv|\mathbb {R}|=|2^{\mathbb {N}}|\equiv2^{\aleph _0}. \aleph _0 ist die kleinste unendliche Kardinalzahl, \aleph _1 die nächstgrößere. Für jede Ordinalzahl \alpha gibt es \aleph _\alpha, und jede unendliche Kardinalzahl wird auf diese Weise erreicht.

Ohne Auswahlaxiom können Mengen nicht notwendigerweise wohlgeordnet werden. Kardinalzahlen lassen sich dann noch als Äquivalenzklassen definieren, müssen aber nicht vergleichbar sein; die Vergleichbarkeit aller Kardinalzahlen ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

Ordnung und Größe: ein Beispiel

Kardinalzahlen vergleichen Mengen unabhängig davon, wie ihre Elemente aussehen oder angeordnet sind. Bei unendlichen Mengen kann Gleichmächtigkeit trotz verschiedener Ordnungen auftreten.

So ist \mathbb {N}=\{0<1<2<3<\dotsb\} gleichmächtig zu A:=\{0<1<2<3<\dotsb<0'\}. Eine Bijektion ist f\colon 0\mapsto1,1\mapsto2,2\mapsto3,\dots,0'\mapsto0. Dennoch besitzt A mit 0' ein größtes Element, \mathbb {N} dagegen nicht. Die zugehörigen Ordinalzahlen unterscheiden sich daher: \mathbb {N} hat die Ordinalzahl \omega, A die Ordinalzahl \omega+1.

Rechenoperationen mit Kardinalzahlen

Für disjunkte Mengen X und Y werden die Grundoperationen durch Mengenoperationen definiert:

• |X|+|Y|:=|X\cup Y|
• |X|\cdot|Y|:=|X\times Y|
• |X|^{|Y|}:=|X^Y|, wobei X^Y die Menge aller Funktionen von Y nach X ist.

Die Potenzmenge von Y ist über Indikatorfunktionen bijektiv zur Menge der Funktionen Y\to\{0,1\}. Daher stimmt |2^Y|=2^{|Y|} mit dieser Potenzdefinition überein.

Für natürliche Zahlen ergeben diese Operationen die üblichen Rechenoperationen. Addition und Multiplikation sind assoziativ und kommutativ und erfüllen das Distributivgesetz. Außerdem gelten |X|^{|Y|+|Z|}=|X|^{|Y|}\cdot|X|^{|Z|} und |X|^{|Y|\cdot|Z|}=(|X|^{|Y|})^{|Z|}.

Unter Voraussetzung des Auswahlaxioms gilt für unendliche Kardinalzahlen: Ist X oder Y unendlich und sind bei der Multiplikation beide Mengen nichtleer, dann ist |X|+|Y|=|X|\cdot|Y|=\max\{|X|,|Y|\}. Keine Kardinalzahl außer 0 hat eine Gegenzahl bezüglich der Addition. Deshalb bilden Kardinalzahlen unter Addition keine Gruppe und erst recht keinen Ring.

Notation und Kontinuumshypothese

Endliche Kardinalzahlen werden als natürliche Zahlen geschrieben. Für unendliche Kardinalzahlen verwendet man \aleph _0,\aleph _1,\dots, allgemein \aleph _\alpha für jede Ordinalzahl \alpha. Im von-Neumannschen Modell gilt \omega=\aleph _0=\mathbb {N}; \omega bezeichnet dabei die Ordinalzahl, \aleph _0 die Kardinalzahl und \mathbb {N} die Menge der natürlichen Zahlen.

Gelegentlich beschreibt die Beth-Funktion bekannte Kardinalzahlen. Eine wichtige Gleichung ist \beth _1=\aleph=\mathfrak {c}=2^{\aleph _0}=|\mathbb {R}|, wobei \aleph hier keinen Index besitzt.

Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt: Für jede unendliche Menge X liegen zwischen |X| und 2^{|X|} keine weiteren Kardinalzahlen. Die Kontinuumshypothese (CH) behauptet dies nur für X=\mathbb {N}. Sie ist unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zusammen mit dem Auswahlaxiom (ZFC).