Isolierte Singularität – einfach erklärt

Begriff und Definition

Isolierte Singularitäten gehören zur Funktionentheorie. Sie sind isolierte Punkte in der Menge der Singularitäten einer holomorphen Funktion. Eine Singularität ist dabei eine Stelle, an der die Funktion nicht wie ursprünglich gegeben holomorph ist.

Sei Ω ⊆ ℂ eine offene Teilmenge, z₀ ∈ Ω und f: Ω \ {z₀} → ℂ eine holomorphe komplexwertige Funktion. Dann heißt z₀ eine isolierte Singularität von f. Das bedeutet insbesondere, dass f in einer Umgebung von z₀ überall außer möglicherweise in z₀ holomorph ist und dass dort keine weiteren Singularitäten liegen.

Isolierte Singularitäten werden in drei Klassen eingeteilt: hebbare Singularitäten, Polstellen und wesentliche Singularitäten. Hebbare Singularitäten und Polstellen fasst man auch unter dem Begriff außerwesentliche Singularitäten zusammen.

Die drei Arten isolierter Singularitäten

Eine hebbare Singularität liegt vor, wenn sich f holomorph auf ganz Ω fortsetzen lässt. Der bisher fehlende Funktionswert in z₀ kann also so ergänzt werden, dass die erweiterte Funktion holomorph ist. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz gilt dies genau dann, wenn f in einer Umgebung von z₀ beschränkt ist.

Eine Polstelle oder ein Pol liegt vor, wenn z₀ keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl k gibt, für die

(z − z₀)ᵏ · f(z)

bei z₀ eine hebbare Singularität besitzt und dort nach der Fortsetzung nicht gleich 0 ist. Wird k minimal gewählt, heißt z₀ ein Pol k-ter Ordnung. Die Ordnung beschreibt, wie stark die Funktion an dieser Stelle divergiert.

Ist eine isolierte Singularität weder hebbar noch eine Polstelle, heißt sie wesentliche Singularität. Diese drei Klassen schließen einander aus und erfassen jede isolierte Singularität.

Erkennung durch die Laurentreihe

Der Typ einer isolierten Singularität lässt sich an der Laurentreihe von f um z₀ ablesen:

∑ₙ₌₋∞^∞ aₙ(z − z₀)ⁿ.

Der Teil der Reihe mit negativen Exponenten heißt Hauptteil. Die übrigen Glieder bilden den regulären beziehungsweise holomorphen Teil.

Eine hebbare Singularität liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil verschwindet. Das heißt: aₙ = 0 für alle negativen ganzen Zahlen n.
Ein Pol k-ter Ordnung liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil nach k Gliedern abbricht. Es gilt a₋ₖ ≠ 0 und aₙ = 0 für alle n < −k.
Eine wesentliche Singularität liegt genau dann vor, wenn unendlich viele Glieder mit negativem Exponenten nicht verschwinden.

Das Verhalten wesentlicher Singularitäten wird unter anderem durch den Großen Satz von Picard beschrieben; der Satz von Casorati-Weierstraß ist ein einfacherer Spezialfall davon.

Typische Beispiele

Setze Ω = ℂ und z₀ = 0.

Die Funktion f(z) = sin(z)/z besitzt bei 0 eine hebbare Singularität. Sie kann durch die Festlegung f(0) = 1 stetig und tatsächlich holomorph auf Ω fortgesetzt werden.

Die Funktion f(z) = 1/z hat bei 0 einen Pol erster Ordnung. Denn für k = 1 wird z · f(z) = 1; diese Funktion lässt sich durch g(0) = 1 stetig und holomorph fortsetzen, ohne dort 0 zu sein.

Die Funktion f(z) = exp(1/z) besitzt bei 0 eine wesentliche Singularität. Für jedes feste k ∈ ℕ ist zᵏ exp(1/z) für z → 0 unbeschränkt. Außerdem lautet ihre Laurentreihe um 0

exp(1/z) = ∑ₙ₌₀^∞ 1/(n! zⁿ).

Darin kommen unendlich viele nichtverschwindende Glieder mit negativen Exponenten vor. Das Verhalten hängt stark davon ab, auf welchem Weg man sich dem Nullpunkt nähert; dies unterscheidet die wesentliche Singularität von einem Pol.

Nichtisolierte Singularitäten

Eine Singularität z₀ heißt nicht isoliert, wenn sich in jeder Umgebung von z₀ mindestens eine weitere Singularität befindet. Nichtisolierte Singularitäten können zum Beispiel Grenzwerte einer Folge isolierter Singularitäten sein. Sie können auch auf einer ganzen Menge liegen, auf die sich die Funktion nicht analytisch fortsetzen lässt, etwa auf der negativen reellen Halbachse bei der Logarithmusfunktion.

Beispiele:

tan(1/z) ist meromorph auf ℂ \ {0} und besitzt einfache Pole bei zₙ = (π/2 + nπ)⁻¹ für n ∈ ℕ₀. Diese Polstellen häufen sich im Nullpunkt, sodass 0 eine nichtisolierte Singularität ist.
csc(π/z) hat bei 0 eine nichtisolierte Singularität, weil zₙ = 1/n für n ∈ ℕ eine Folge von Singularitäten mit dem Häufungspunkt 0 bildet. Die Singularitäten bei den einzelnen Punkten zₙ = 1/n sind dagegen isoliert.
Die durch die Maclaurin-Reihe ∑ₙ₌₀^∞ z²ⁿ definierte Funktion konvergiert im Inneren des Einheitskreises, kann aber nicht analytisch auf dessen Rand fortgesetzt werden. Die Punkte auf dem Rand des Einheitskreises sind daher nichtisolierte Singularitäten.