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Asymptotischer Punkt
Ein asymptotischer Punkt einer Kurve ist in der Analysis und der Geometrie – weit gefasst – eine asymptotische Linie, die zu einem Punkt entartet ist. In …
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Definition und Grundidee
Ein asymptotischer Punkt einer Kurve ist in der Analysis und der Geometrie – weit gefasst – eine asymptotische Linie, die zu einem Punkt entartet ist. Man kann ihn sich als einen Häufungspunkt von Kurvenpunkten vorstellen, der selbst kein Kurvenpunkt ist: Die Kurve kommt dem Punkt beliebig nahe, erreicht ihn aber nie. Auch eine stetig behebbare Definitionslücke gilt in diesem Sinne als asymptotischer Punkt, zum Beispiel bei der Funktion y = (x²−1)/(x−1) an der Stelle x = 1.
Einschränkung des Begriffs: Spiralen
Oft wird der Begriff eingeschränkt auf Punkte, die die Kurve unendlich oft umkreist, ohne sie schließlich zu erreichen. Bei Funktionsgraphen ist das nicht möglich; typisch für diese Art von asymptotischen Punkten sind Spiralen. Beispiele: Die logarithmische Spirale hat einen asymptotischen Punkt, die Klothoide (eine Kurve mit linear wachsender Krümmung) hat zwei.
Präzise Definition und Kugelgeometrie
Eine präzise Definition dieses Begriffs von asymptotischem Punkt ist nicht ganz einfach. Sie läuft darauf hinaus, dass der Tangentenwinkel der Kurve bei Annäherung an den Häufungspunkt dem Grenzwert ±∞ zustrebt. In dieser Form wird der Begriff auch in der Kugelgeometrie verwendet; dort spielen unter anderem Loxodromen (Kurven konstanten Winkels zu den Meridianen) eine Rolle.
Beispiel aus der Analysis
Ein Beispiel für einen asymptotischen Punkt bei (0|0) liefert die Funktion y = x · sin(1/x). Bei Annäherung an x = 0 oszilliert der Graph immer schneller zwischen den Geraden y = x und y = −x; der Punkt (0|0) ist ein Häufungspunkt der Kurvenpunkte, ohne dass die Kurve ihn erreicht.