Schwingung

Grundidee und Einteilung

Schwingungen oder Oszillationen sind wiederholte zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen eines Systems. Eine Schwankung bedeutet dabei eine Abweichung von einem Mittelwert. Schwingungen können in allen rückgekoppelten Systemen auftreten, also in Systemen, bei denen eine Veränderung wieder auf das System selbst zurückwirkt. Beispiele gibt es in der Mechanik, Elektrotechnik, Biologie, Wirtschaft und vielen weiteren Bereichen.

Wichtige Einteilungen sind: periodische und nichtperiodische Schwingungen, wobei nichtperiodische Schwingungen quasiperiodisch oder chaotisch sein können; ungedämpfte, gedämpfte und aperiodische Schwingungen; freie, erzwungene, selbsterregte und parametererregte Schwingungen; lineare und nichtlineare Schwingungen; Schwingungen mit einem Freiheitsgrad, mit mehreren Freiheitsgraden und mit unendlich vielen Freiheitsgraden; außerdem kontinuierliche Schwingungen und Oszillationen zwischen diskreten Zuständen. Diese Eigenschaften können kombiniert auftreten.

Periodische, mit Verformung verbundene mechanische Schwingungen eines Körpers heißen Vibrationen. Eine Schwingung, die Informationen überträgt, nennt man manchmal Signal, zum Beispiel ein elektrisches Signal. Breitet sich eine Störung oder Schwingung räumlich aus, spricht man von einer Welle.

Harmonische Schwingung

Eine harmonische Schwingung ist eine Schwingung, deren Verlauf durch eine Sinusfunktion beschrieben werden kann. Die Auslenkung y(t) gibt den momentanen Wert der schwingenden Größe zum Zeitpunkt t an. Die Amplitude y0 ist der maximal mögliche Wert dieser Größe. Die Periodendauer T, auch Schwingungsdauer, ist die Zeit für genau eine Schwingungsperiode; danach befindet sich das System wieder im selben Schwingungszustand. Der Kehrwert der Periodendauer ist die Frequenz f: f = 1/T. Statt f wird auch der griechische Buchstabe ν verwendet. Die Einheit der Frequenz ist Hertz, also 1 Hz = 1 s^−1.

Eine ungedämpfte Schwingung ist harmonisch, wenn die rückstellende Kraft proportional zur Auslenkung ist, wie beim Federpendel. Dann spricht man von einem harmonischen Oszillator oder einem linearen System. Verdoppelt sich die Auslenkung, verdoppelt sich auch der Betrag der rückstellenden Kraft F. Mathematisch führt das auf die lineare Differentialgleichung y¨(t) = F = −κ · y(t), wobei κ > 0 ein positiver Proportionalitätsfaktor ist. Für κ gilt κ = ω^2 mit ω = 2π · f.

Die allgemeine Form einer solchen Schwingung lautet y(t) = y0 · sin(2πft + φ0). Dabei ist y0 die Amplitude und φ0 der Nullphasenwinkel. Die Größe ω = 2π · f heißt Kreisfrequenz. Mit ihr schreibt man kompakter: y(t) = y0 · sin(ω t + φ0).

Gedämpfte Schwingung

Makroskopische physikalische Systeme sind immer gedämpft. Durch Reibung oder andere Prozesse geben sie Energie an die Umgebung ab, sodass ihre Amplitude mit der Zeit kleiner wird. Überlässt man ein gedämpftes System sich selbst, also bei einer freien Schwingung, kommt es schließlich zum Stillstand. Perpetua mobilia sind deshalb nicht möglich.

Für ein Federpendel mit einer zur Geschwindigkeit proportionalen Dämpfung lautet die Bewegungsgleichung m x¨ + d x˙ + kx = 0. Dabei ist m die Masse, d die Dämpfungskonstante und k die Federkonstante. Bei Drehschwingungen ersetzt man m durch das Trägheitsmoment J und x durch den Auslenkungswinkel φ. Mit den Abkürzungen δ = d/(2m) für die Abklingkonstante und ω0 = √(k/m) für die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz erhält man die Form x¨ + 2δ x˙ + ω0^2 x = 0.

Das Verhalten hängt von der Diskriminante δ^2 − ω0^2 des charakteristischen Polynoms P(λ) = λ^2 + 2δλ + ω0^2 ab. Bei geringer Dämpfung gilt δ < ω0. Dann liegt der Schwingfall vor: Das System schwingt weiter, aber mit abnehmender Amplitude. Die gedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωd = √(ω0^2 − δ^2), und eine typische Lösungsform ist x(t) = x0 e^−δt cos(ωd t + φ0). Ist δ = 0, bleibt die Amplitude konstant; die Schwingung ist ungedämpft und hat ωd = ω0.

Der aperiodische Grenzfall ist die Grenze, ab der keine Schwingung mehr möglich ist. Er liegt bei δ = ω0 beziehungsweise ωd = 0. Die Lösung enthält dann keine Sinusfunktion und lautet allgemein x(t) = e^−δt · (X1 + t X2). Bei hoher Dämpfung, also δ > ω0, spricht man vom Kriechfall. Die Bewegung besteht aus abklingenden Exponentialfunktionen und nähert sich ohne eigentliche Schwingung dem Gleichgewicht.

Frequenzen und Anregung

Eine Schwingung kann nicht nur als zeitabhängige Änderung, sondern auch im Frequenzraum betrachtet werden. Die mathematische Umwandlung zwischen Zeitbereich und Frequenzbereich heißt Fouriertransformation. Der Informationsgehalt bleibt erhalten: Aus einem Frequenzspektrum kann durch Rücktransformation die zeitabhängige Schwingung rekonstruiert werden. Die Grundidee ist, dass sich jede Schwingung als additive Überlagerung, also Superposition, harmonischer Schwingungen unterschiedlicher Frequenz darstellen lässt. Die Superposition zweier harmonischer Schwingungen nennt man Schwebung.

Freie Schwingungen entstehen, wenn ein schwingfähiges System nach einer Störung oder Auslenkung sich selbst überlassen wird. Je nach Dämpfung kehrt es oszillierend oder kriechend in den Gleichgewichtszustand zurück. Die Frequenz einer freien Schwingung ist die Eigenfrequenz des Schwingers. Bei Systemen mit mehreren Freiheitsgraden gibt es entsprechend viele Eigenfrequenzen.

Erzwungene Schwingungen entstehen durch eine zeitveränderliche äußere Einwirkung. Besonders wichtig sind periodische Erregungen, vor allem harmonische, sinusförmige Erregungen. Die Frequenz der äußeren periodischen Erregung heißt Erregerfrequenz. Bei harmonischer Erregung führt ein lineares System im Allgemeinen gleichzeitig eine freie Schwingung und eine erzwungene Schwingung aus. Die freie Schwingung hängt von den Anfangsbedingungen ab und klingt wegen Dämpfung während der Einschwingzeit ab. Die erzwungene Schwingung hat die Erregerfrequenz; nach dem Einschwingen bleibt ihre Amplitude bei konstanter Anregungsstärke konstant. Das Verhältnis zwischen Amplitude und Stärke der Erregung wird durch die Vergrößerungsfunktion beschrieben. Bei Resonanz erreicht die Amplitude ein Maximum. Fehlt Dämpfung und stimmt eine Erregerfrequenz mit einer Eigenfrequenz überein, wird die Amplitude unendlich. Mit wachsender Dämpfung verschiebt sich die Resonanzstelle geringfügig und die Resonanzamplitude nimmt ab.

Selbsterregte Schwingungen treten auf, wenn die Energiezufuhr durch ein Steuerelement und den Schwingungsvorgang selbst geregelt wird. Solche Systeme heißen Oszillatoren. Beispiele sind die Schwingungen von Violinsaiten, das Tönen von Gläsern durch Reiben des Randes und elektronische Taktgeber. Die Amplitude selbsterregter Schwingungen nimmt zu, bis die mit der Amplitude zunehmende Dämpfung die Energiezufuhr ausgleicht oder das System zerstört wird. Parametererregte Schwingungen entstehen, wenn sich Parameter des Systems, etwa Trägheitsgrößen, Dämpfungswerte oder Federkonstanten, periodisch ändern; ein Beispiel ist das Schaukeln.

Linearität und Freiheitsgrade

Lineare Schwingungen lassen sich durch Differentialgleichungen beschreiben, in denen alle Abhängigkeiten von der schwingenden Größe und ihren zeitlichen Ableitungen linear sind. Bei nichtlinearen Schwingungen gilt das nicht; sie sind daher nicht streng sinusförmig. Praktisch wichtig ist, dass sich bei einem getriebenen Oszillator das Resonanzverhalten erzwungener Schwingungen ändert und die Amplituden selbsterregter Schwingungen begrenzt bleiben.

Nichtlineare Systeme sind häufig nicht integrabel. Das bedeutet, dass ihre Differentialgleichungen keine analytische Lösung besitzen. Deshalb untersucht man ihr Verhalten oft mit numerischen Computersimulationen. Ein frühes Beispiel war das Fermi-Pasta-Ulam-Experiment, bei dem eine Saitenschwingung mit nichtlinearem Störterm untersucht wurde. Je nach Energie erhält man bei solchen Systemen häufig quasiperiodische oder chaotische Oszillationen. Chaotisches Verhalten lässt sich beim Doppelpendel beobachten. Ein nichtlineares System ohne chaotisches Verhalten ist der Van-der-Pol-Oszillator.

Ein System mit einem Freiheitsgrad lässt sich vollständig durch eine schwingende Größe beschreiben, etwa das ebene Fadenpendel. Lässt man beim Pendel räumliche Bewegungen zu, wie beim foucaultschen Pendel, hat es zwei Freiheitsgrade. Die Bezeichnung als Schwingung kann von den betrachteten Größen abhängen, also von den gewählten generalisierten Koordinaten. Beim räumlichen Pendel können Ellipsenbahnen oder eine Kreisbewegung entstehen. Betrachtet man zwei seitliche Auslenkungswinkel, erhält man zwei harmonische Schwingungen gleicher Periodendauer; ihre Überlagerung heißt Lissajous-Figur.

Bei mechanischen Systemen mit mehreren unabhängig beweglichen Massen ist die Anzahl der Freiheitsgrade die Summe der einzelnen Freiheitsgrade. Beispiele sind Torsionsschwingungen einer Kurbelwelle oder Horizontalschwingungen eines mehrgeschossigen Bauwerks bei Erdbeben. Manche Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden lassen sich durch geeignete Koordinaten in unabhängige Schwingungen zerlegen. Dann kann man die Eigenfrequenzen des Systems bestimmen. Sind alle Eigenfrequenzen ganzzahlige Vielfache einer Konstanten, ist auch die Gesamtschwingung periodisch. Bei nichtlinearen Systemen ist eine solche Entkopplung meist nicht geschlossen möglich; Näherungsverfahren beginnen oft mit einer Linearisierung.

Kontinua und Beispiele

Bei Schwingungen eines Kontinuums breitet sich eine an einer Stelle angeregte Schwingung als Welle aus. An Grenzflächen, an denen das Ausbreitungsmedium wechselt, kann die Welle reflektiert werden. Im schwingenden Körper überlagern sich ursprüngliche und reflektierte Welle, sodass eine stehende Welle entsteht. Beispiele sind die schwingende Saite eines Musikinstruments als geometrisch eindimensionales System und die zweidimensional schwingende Membran in einem Lautsprecher. Eine stehende Welle kann mathematisch durch unendlich viele gekoppelte Oszillatoren beschrieben werden, also durch ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden.

In der Technik sind außerdem Schwingungen von Stäben, Platten und Schalen wichtig. Ein einseitig eingespannter Balken besitzt viele Freiheitsgrade. Seine Schwingungen unterscheiden sich nicht nur durch ihre Resonanzfrequenzen, sondern auch durch die Art der Bewegung, etwa Querbiegung, Vertikalbiegung oder Torsion.

Im Alltag begegnen Schwingungen in Musikinstrumenten, am Uhrpendel, in Schwingquarzen von Uhren und bei der Takterzeugung in elektronischen Geräten. Atome in einem Kristallgitter und Moleküle können um eine Gleichgewichtslage schwingen und dadurch charakteristische Absorptionsspektren erzeugen. Oszillierende Reaktionen geben den Takt für Atmung und Herzschlag vor. In Elektronenröhren kann Mikrofonie durch störende mechanische Schwingungen von außen entstehen, etwa durch nahe Lautsprecher; ähnlich tritt dies beim Schallplattenspieler auf. Ein Mikrofon kann abhängig vom Abstand zum Lautsprecher durch akustische Rückkopplung einen Pfeif- oder Heulton erzeugen. In der Fertigungstechnik heißen während des Fertigungsvorgangs in Maschinen auftretende Schwingungen Regenerativeffekt. Auch in Geologie und Meteorologie werden regelmäßige Schwankungen beobachtet, etwa des Meeresspiegels, der Eisrandlagen, der Erdkruste, des Erdmagnetfeldes oder des Klimas. In der Wirtschaft erklärt das Goodwin-Modell Konjunkturzyklen, und die Lotka-Volterra-Gleichungen beschreiben näherungsweise Schwankungen von Räuber- und Beutepopulationen.