Gradient (Mathematik)

Begriff und Definition

Der Gradient ist ein Differentialoperator der mehrdimensionalen Analysis. Auf ein Skalarfeld angewandt liefert er ein Vektorfeld, das Gradientenfeld. Der Gradient zeigt an jedem Punkt in die Richtung, in der der Funktionswert am stärksten zunimmt; sein Betrag ist die dort größtmögliche Änderungsrate. Geschrieben wird er als grad f oder mithilfe des Nabla-Operators als ∇f.

Für eine total differenzierbare Funktion f: ℝⁿ → ℝ mit gegebenem Skalarprodukt ⟨·,·⟩ ist der Gradient im Punkt a der eindeutig bestimmte Vektor grad f(a), für den

df(a)h = ⟨grad f(a), h⟩

für jeden Vektor h ∈ ℝⁿ gilt. Das totale Differential df(a) beschreibt dabei die lineare Näherung der Funktionsänderung. Gleichwertig lässt sich die Ableitung in Richtung h durch

grad f(a)[h] = (d/ds) f(a + sh)|ₛ₌₀ = limₛ→₀ [f(a + sh) − f(a)]/s = (h·∇)f

bestimmen. Existiert der Gradient, so ist er eindeutig.

Koordinatendarstellungen und Beispiel

In kartesischen Koordinaten mit dem euklidischen Standardskalarprodukt besteht der Gradient aus den partiellen Ableitungen:

grad f = (∂f/∂x₁, …, ∂f/∂xₙ)ᵀ = Σᵢ (∂f/∂xᵢ) êᵢ.

Für f(x,y) = 2x² − y² gilt ∂f/∂x = 4x und ∂f/∂y = −2y, also grad f = (4x, −2y)ᵀ. Am Punkt P(2|1) ist der Gradient (8, −2)ᵀ; sein Betrag beträgt √(8² + (−2)²) ≈ 8,25.

In dreidimensionalen Zylinderkoordinaten V(ρ,φ,z) lautet die Darstellung

grad V = (∂V/∂ρ) êρ + (1/ρ)(∂V/∂φ) êφ + (∂V/∂z) êz.

In Kugelkoordinaten V(r,ϑ,φ) gilt

grad V = (∂V/∂r) êr + (1/r)(∂V/∂ϑ) êϑ + 1/(r sin ϑ) êφ.

Für allgemeine orthogonale Koordinaten qa ist grad f = Σa (1/ha)(∂f/∂qa) êqa, wobei ha den Betrag und êqa die Richtung von ∂r/∂qa angibt. In allgemein krummlinigen Koordinaten gilt grad f = Σa (∂f/∂qa) Ga, wobei Ga der Gradient der Koordinate qa ist.

Geometrische Bedeutung und Richtungsableitung

Eine Reliefkarte veranschaulicht den Gradienten: Die Höhenfunktion ordnet jedem Ort (x,y) eine Höhe zu. Ihr Gradient ist ein Pfeil in Richtung des steilsten Höhenanstiegs; seine Länge gibt die Stärke dieser größten Steigung an. Die Gradienten aller Punkte bilden gemeinsam ein Vektorfeld. Der Gradient steht senkrecht auf der durch den jeweiligen Punkt verlaufenden Höhenlinie beziehungsweise Niveaumenge. An einem inneren lokalen Minimum, Maximum oder Sattelpunkt ist er der Nullvektor.

Die Richtungsableitung ist im Unterschied zum Gradienten eine skalare Größe. Für ein Skalarfeld φ(r) und einen normierten Richtungsvektor v ist sie definiert durch

Dᵥφ = limₜ→₀ [φ(r + tv) − φ(r)]/t.

Ist φ in einer Umgebung von r differenzierbar, gilt

Dᵥφ = grad φ · v = (v·∇)φ.

Damit erhält man aus dem Gradienten die Änderungsrate in jeder beliebigen Richtung. In Richtung des Gradienten ist sie maximal. Die Form (v·∇) ist auch auf Vektor- und Tensorfelder anwendbar und wird besonders in der Strömungsmechanik verwendet.

Rechenregeln, Integrale und Integrabilität

Für Konstanten c und Skalarfelder u und v gelten:

• grad c = 0 • grad(cu) = c grad u • grad(u + v) = grad u + grad v • grad(uv) = u grad v + v grad u • grad(u(v)) = (du/dv) grad v • grad(uⁿ) = nuⁿ⁻¹ grad u für n ∈ ℝ, n ≠ 0.

Der grundlegende Integralsatz lautet

∫ₐᵇ grad(u(r))·dr = u(b) − u(a).

Das Integral eines Gradientenfeldes hängt daher nur von Anfangs- und Endpunkt ab, nicht vom gewählten Weg. Für geschlossene Wege verschwindet es. Weitere Beziehungen sind

∫V grad(u) dV = ∫A u n̂ dA

und

∫A n̂ × grad(u) dA = ∫C u dr,

wobei n̂ der nach außen gerichtete Normaleneinheitsvektor ist.

Für ein differenzierbares Gradientenfeld G = grad f gilt nach dem Satz von Schwarz die Integrabilitätsbedingung

∂Gi/∂xk − ∂Gk/∂xi ≡ 0.

In drei Dimensionen entspricht dies der Rotationsfreiheit. Die Bedingung ist notwendig für die Existenz einer Potentialfunktion und lokal auch hinreichend. Unter zusätzlichen Voraussetzungen an den Definitionsbereich, etwa Sternförmigkeit, folgt sogar die globale Existenz eines Potentials.

Koordinatenunabhängig kann der Gradient mithilfe des Gaußschen Integralsatzes als Volumenableitung dargestellt werden:

grad f = limV→0 [∮∂V f dA⃗]/V,

wobei dA⃗ das nach außen gerichtete vektorielle Flächenelement ist und das Gebiet auf den betrachteten Punkt zusammengezogen wird.

Physikalische und technische Anwendungen

Viele konservative Kraftfelder sind Gradienten eines Potentials. Für die Gravitation gilt

FGravitation(x,y,z) = −m grad Φ(x,y,z).

Bei einer zentralen Masse M im Koordinatenursprung folgt

FGravitation(r) = grad[GMm/r] = −(GMm/r³) r⃗.

Für ein statisches elektrisches Feld gilt E = −grad φ. In solchen Feldern hängt die Arbeit W = ∫S F(r)·dr nur von Anfangs- und Endpunkt ab.

Bei Transportvorgängen werden Ströme häufig durch den Gradienten eines Skalarfeldes beschrieben. Für den Wärmestrom gilt

j⃗w = −λ grad T,

wobei λ die Wärmeleitfähigkeit ist. Bei einer Potentialströmung ist die Strömungsgeschwindigkeit der Gradient eines Potentialfeldes.

In der Bildverarbeitung dienen Filter wie der Sobel-Operator dazu, aus den diskreten Bildwerten ein Gradientenfeld zu gewinnen. Dabei wird das Bild mit einer Matrix gefaltet; Bildkanten erscheinen als Extremwerte des gefilterten Bildes. Weitere Anwendungen sind das Gradientenverfahren für mehrdimensionale Optimierungsprobleme und das Druckgradientenmikrofon, das Druckunterschiede zwischen räumlichen Punkten nutzt.

In krummlinigen Koordinatensystemen bilden die Gradienten der Koordinatenfunktionen außerdem lokale kontravariante Basisvektoren. Sie stehen senkrecht auf den Koordinatenflächen.

Verallgemeinerungen und wichtige Formeln

Der Gradient lässt sich auf Vektor- und Tensorfelder erweitern. Der Gradient eines Skalarfeldes, also eines Tensorfeldes nullter Stufe, ist ein Tensorfeld erster Stufe. Allgemein wird aus einem Tensorfeld n-ter Stufe ein Tensorfeld der Stufe n + 1. Die Koeffizienten der Gradienten kovarianter Basisvektoren eines krummlinigen Koordinatensystems sind die Christoffelsymbole.

Für den Ortsvektor r⃗ = r êr gelten häufig verwendete Formeln:

• grad r = êr = r⃗/r • grad U(r) = (∂U/∂r) êr • grad(1/r) = −êr/r² = −r⃗/r³ • grad[1/|r⃗ − r⃗′|] = −(r⃗ − r⃗′)/|r⃗ − r⃗′|³, wobei der Gradient nur auf r⃗ wirkt.

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g), also einem gekrümmten Raum mit Metrik g, ist der Gradient einer glatten Funktion f das Vektorfeld ∇f, das durch

g(∇f, X) = ∂Xf

für jedes Vektorfeld X bestimmt ist. In lokalen Koordinaten lautet er

∇f = gⁱᵏ (∂f/∂xᵏ) ∂/∂xⁱ.

Über die Metrik entspricht ∇f der 1-Form df unter dem musikalischen Isomorphismus „sharp“: ♯ᵍ: T*M → TM. Der gewöhnliche Gradient im ℝⁿ ist der Spezialfall für die flache, vom euklidischen Skalarprodukt gegebene Metrik.