Zinsrechnung

Grundidee und Begriffe

Die Zinsrechnung ist ein Teilgebiet und eine Grundlage der klassischen Finanzmathematik. Sie liefert Formeln zur Berechnung von Zinsen und zur Entwicklung eines zinstragenden Kapitals über die Zeit.

Bei einfacher Zinsrechnung werden nicht ausgezahlte Zinsen nie zum Kapital hinzugerechnet. Bei der Zinseszinsrechnung werden sie dagegen dem Kapital zugeschlagen und anschließend selbst mitverzinst. Man unterscheidet außerdem jährliche, unterjährige und stetige Verzinsung. Dekursiv bedeutet Verzinsung nach Ablauf der Zinsperiode, antizipativ Vorabverzinsung.

Wichtige Bezeichnungen sind: Anfangskapital K₀, Endkapital nach n Jahren Kₙ, Zinssatz p in Prozent, i = p/100 als Dezimalzinssatz und q = 1 + i als Zinsfaktor. Die Zinsrechnung behandelt meist eine einmalige Ein- oder Auszahlung; regelmäßige Zahlungen sind Gegenstand der Rentenrechnung.

Jährliche Verzinsung

Bei einfachen jährlichen Zinsen gilt nach n Jahren:

Kₙ = K₀ · (1 + n · i).

Daraus folgen K₀ = Kₙ/(1 + n · i), i = (1/n) · (Kₙ/K₀ − 1) und n = (1/i) · (Kₙ/K₀ − 1). Beispiel: 1.000 € zu 5 % für 2 Jahre ergeben K₂ = 1000 € · (1 + 2 · 0,05) = 1100 €.

Mit jährlichem Zinseszins lautet die Formel:

Kₙ = K₀ · (1 + i)ⁿ = K₀ · qⁿ.

Für die Umkehrung gilt unter anderem K₀ = Kₙ/qⁿ, i = ⁿ√(Kₙ/K₀) − 1 und n = ln(Kₙ/K₀)/ln(1 + i). Bei 1.000 € zu 5 % für 2 Jahre entstehen 1.102,50 €. Die Verdoppelungszeit ist n = log 2/log(1 + i) = log 2/log q; sie kann auch mit der 72er-Regel geschätzt werden.

Der Barwert ist das heute nötige Startkapital für einen gegebenen späteren Endwert. Für 1.100 € in 2 Jahren bei 5 % p. a. beträgt er 997,73 €.

Unterjährige Verzinsung und Effektivzins

Bei unterjähriger Verzinsung erfolgt die Zinsgutschrift beispielsweise halbjährlich, quartalsweise oder monatlich. m bezeichnet die Zahl der Zinsperioden pro Jahr. Beim nominellen Jahreszinssatz i_nom ist der relative Periodenzinssatz i_rel = i_nom/m. Die Laufzeit wird dann in Zinsperioden gerechnet.

Bei einfachen Zinsen nach n Jahren und k weiteren Perioden gilt:

Kₙ,ₖ = K₀ · (1 + [n · m + k] · i_rel).

Bei Zinseszinsen gilt:

Kₙ,ₖ = K₀ · (1 + i_rel)^(n · m + k).

Der effektive Jahreszinssatz i_eff liefert bei einmaliger jährlicher Verzinsung dasselbe Ergebnis wie die unterjährige Zinseszinsrechnung:

i_eff = (1 + i_nom/m)^m − 1.

Für kleine i_nom kann der Mehrertrag näherungsweise mit i_eff − i_nom ≈ (m − 1)/(2m) · i_nom² ≈ 0,5 · i_nom² abgeschätzt werden. Ist nur i_eff gegeben, lautet der dazu wertgleiche Periodenzinssatz i_rel = ⁿ√(1 + i_eff) − 1, genauer: ᵐ√(1 + i_eff) − 1. Der Begriff „konformer Zinssatz“ wird im Schrifttum unterschiedlich verwendet und kann sich entweder auf den effektiven oder auf den nominellen Jahreszinssatz beziehen; deshalb kann er zu Missverständnissen führen.

Beispiele zur unterjährigen Verzinsung

Bei 10.000 € und i_nom = 3 % ergibt jährliche Verzinsung nach einem Jahr 10.300,00 €; i_eff = 3,00 %.

Bei quartalsweiser Verzinsung (m = 4) ergibt sich 10.303,39 €. Der Mehrertrag gegenüber jährlicher Verzinsung beträgt etwa 0,03392 %, die Näherung 0,03375 %.

Bei monatlicher Verzinsung (m = 12) ergibt sich 10.304,16 €. Der Mehrertrag beträgt etwa 0,04160 %, die Näherung 0,04125 %.

Bei stetiger Verzinsung ergibt sich 10.304,55 € und ein Mehrertrag von etwa 0,04545 %. Eine jährliche einmalige Verzinsung von 3,05 % bringt daher stets mehr Zinsertrag als ein nominaler Zinssatz von 3,00 % mit beliebig häufiger unterjähriger Verzinsung.

Gemischte und stetige Verzinsung

Bei gemischter Verzinsung werden volle Zinsperioden mit Zinseszinsen gerechnet, angebrochene Zeiträume am Anfang und Ende dagegen mit einfachen Zinsen. Für t₁ Tage bis zum ersten Jahresende, n volle Jahre und t₂ Tage bis zur Auszahlung gilt nach Deutscher Zinsberechnungsmethode mit 360 Tagen:

K = K₀ · (1 + i · t₁/360) · (1 + i)ⁿ · (1 + i · t₂/360).

Beispiel: 1.000 € werden am 25. Juni 2008 zu 2,5 % angelegt und am 12. April 2013 ausgezahlt. Mit t₁ = 186, n = 4 und t₂ = 101 ergibt sich K = 1.125,91 €. Eine reine Zinseszinsrechnung über die gesamte Laufzeit ergäbe etwa 1.125,76 €.

Stetige Verzinsung ist der Grenzfall unterjähriger exponentieller Verzinsung: Die Zahl der Perioden wird unendlich groß, ihre Dauer geht gegen null. Dann gilt K = K₀ · e^(i · n), wobei e = 2,7182818… die Eulersche Zahl ist. 1.000 € zu 5 % über 2 Jahre ergeben 1.105,17 €. Weil praktisch jederzeit kapitalisiert wird, lässt sich diese Verzinsungsart in finanzmathematischen Modellen einfach verwenden, etwa im Black-Scholes-Modell.