Rentenrechnung

Kernidee und Grundbegriffe

Die Rentenrechnung ist ein Teilgebiet der klassischen Finanzmathematik. Sie untersucht Folgen von regelmäßig wiederkehrenden Zahlungen, die in der Finanzmathematik Renten heißen. Die wichtigsten Aufgaben sind die Berechnung des Barwerts und des Endwerts einer Rente. Die Rentenrechnung baut auf der Zinsrechnung auf und erweitert sie, weil bei mehreren Zahlungen Zinseszinsen berücksichtigt werden müssen.

Von einer Leibrente spricht man, wenn Zahlungen nur erfolgen, solange eine oder mehrere bestimmte Personen am jeweiligen Zahlungstermin noch leben. Leibrenten gehören zur Lebensversicherungsmathematik. Zeitrenten werden dagegen für eine begrenzte Dauer unabhängig vom Leben der beteiligten Personen gezahlt. In der Finanzmathematik werden solche Zeitrenten einfach Renten genannt. Der Artikel behandelt vor allem Zeitrenten, zunächst konstante Renten und danach dynamische Renten.

Bei einer konstanten Rente wird jährlich derselbe Rentenbetrag r gezahlt. Eine Rente heißt nachschüssig oder Postnumerando-Rente, wenn die Zahlungen am Ende des Jahres erfolgen. Erfolgen sie am Anfang des Jahres, heißt sie vorschüssig oder Pränumerando-Rente.

Der Endwert ist das Kapital, das am Ende der Zahlungsfolge zur Verfügung steht, wenn mehrere Zahlungen mit Zinseszins angelegt wurden. Bei einer nachschüssigen Rente ist er der Wert unmittelbar nach der letzten Zahlung, bei einer vorschüssigen Rente der Wert ein Jahr nach der letzten Zahlung. Der Barwert ist das Kapital, das bei Vertragsabschluss vorhanden sein muss, damit daraus und aus den Zinsen die künftigen Zahlungen finanziert werden können. Barwert und Endwert ersetzen also eine ganze Folge von Rentenzahlungen durch eine gleichwertige einmalige Zahlung unter Berücksichtigung der Zinseszinsen. Beide hängen vom Rentenbetrag r, von der Zahl n der Zahlungen und vom Zinsfuß p > 0 ab.

Konstante Renten berechnen

Für konstante Renten bezeichnet i den Zinssatz und q = 1 + i den Zinsfaktor. Bei einem Zinssatz von 5 % gilt zum Beispiel i = 5 % und q = 1 + 0,05 = 1,05. Außerdem gilt q - 1 = i.

Für eine vorschüssige Rente lauten die Formeln:

• Barwert: B_vor = r · (q^n - 1) / (q^(n-1)(q - 1))
• Endwert: E_vor = r · q(q^n - 1) / (q - 1)

Für eine nachschüssige Rente lauten die Formeln:

• Barwert: B_nach = r · (q^n - 1) / (q^n(q - 1))
• Endwert: E_nach = r · (q^n - 1) / (q - 1)

Die Zeitpunkte sind wichtig: Der Endwert einer nachschüssigen Rente ist der Zeitwert am Tag der letzten Ratenzahlung. Der Endwert einer vorschüssigen Rente ist der Zeitwert eine Zinsperiode nach der letzten Ratenzahlung. Der Barwert einer nachschüssigen Rente ist der Zeitwert eine Zinsperiode vor der ersten Ratenzahlung. Der Barwert einer vorschüssigen Rente ist der Zeitwert am Tag der ersten Ratenzahlung.

Warum die Formeln gelten

Die Formeln entstehen aus der Aufzinsung der einzelnen Zahlungen. Bei der vorschüssigen Rente wird die erste Zahlung n-mal verzinst, die zweite Zahlung (n - 1)-mal und so weiter bis zur letzten Zahlung, die genau einmal verzinst wird. Deshalb gilt für den Endwert der vorschüssigen Rente:

E_vor = r · q^n + r · q^(n-1) + ... + r · q = r · (q^n + q^(n-1) + ... + q).

Der Klammerausdruck ist eine geometrische Summe. Weil (q^n + q^(n-1) + ... + q) · (q - 1) = q(q^n - 1) gilt, kann man ihn durch q(q^n - 1)/(q - 1) ersetzen. So erhält man die vorschüssige Endwertformel.

Bei der nachschüssigen Rente sind alle Zahlungen im Vergleich zur vorschüssigen Rente um ein Jahr nach hinten verschoben. Deshalb erhält man die nachschüssige Endwertformel aus der vorschüssigen durch Abzinsung um ein Jahr, also durch Multiplikation mit 1/q. Die Barwertformeln erhält man aus den Endwertformeln, indem man E_vor beziehungsweise E_nach um n Perioden diskontiert, also jeweils mit 1/q^n multipliziert.

Kapital verrenten

Wird ein Anfangskapital unter Berücksichtigung der Zinsen in regelmäßige Rentenzahlungen umgewandelt, spricht man von der Verrentung eines Kapitals. Das ist das umgekehrte Problem zur Barwertermittlung. Bei der Barwertermittlung sind Laufzeit und Rentenhöhe gegeben, und gesucht ist der Barwert. Bei der Verrentung ist ein Kapital gegeben, und gesucht wird entweder die Laufzeit bei gegebener Rentenhöhe oder die Rentenhöhe bei gegebener Laufzeit.

Bei vorschüssiger Zahlung ergibt sich die Zahl n der Rentenzahlungen, nach denen ein Kapital aufgebraucht ist, aus:

n = - ln(q - (B/r) · (q - 1)) / ln(q) + 1.

Dabei ist B das ursprünglich vorhandene Kapital, also der Barwert, q der Zinsfaktor und r die regelmäßig gezahlte Rente.

Die Rentenhöhe, die aus einem Kapital gezahlt werden kann, ergibt sich bei vorschüssiger Zahlung aus:

r = B · q^(n-1)(q - 1) / (q^n - 1).

Hier ist B wieder das ursprünglich vorhandene Kapital, q der Zinsfaktor und n die Zahl der gewünschten Rentenzahlungen. Beide Formeln setzen voraus, dass der Periodenzinssatz während der gesamten Dauer gleich bleibt. Wenn mit dem Jahreszinssatz gerechnet wird, muss auch die Jahresrente eingesetzt werden. Bei monatlichen Auszahlungen ist zu beachten, ob Zinsgutschriften jährlich oder monatlich erfolgen; für Überschlagsrechnungen sind die genannten Ungenauigkeiten unbedeutend.

Dynamische Renten

Bei dynamischen Renten sind die Zahlungen nicht konstant, sondern folgen einem bestimmten Bildungsgesetz und wachsen in der Regel von Jahr zu Jahr. In der Praxis soll dadurch oft der durch Inflation verursachte Realwertverlust der Rente ausgeglichen oder zumindest abgeschwächt werden. Die beiden häufigsten Formen sind arithmetisch wachsende Renten und geometrisch wachsende Renten.

Bei arithmetisch wachsenden Renten steigt jede Rate jedes Jahr um denselben Betrag d. Ist a_0 die erste Ratenzahlung, dann liegt eine lineare Dynamik vor. Für den Endwert bei vorschüssiger Zahlung wird die Summe der aufgezinsten, jährlich um d steigenden Zahlungen gebildet:

Σ_{k=1}^{n} q^k(a_0 + (n-k)d) = (a_0 + nd) · q(q^n - 1)/(q - 1) - d · (nq^(n+2) - (n+1)q^(n+1) + q)/(q - 1)^2.

Den Barwert erhält man daraus durch Abzinsung um n Perioden.

Bei geometrisch wachsenden Renten steigt die Ratenzahlung jedes Jahr um einen Prozentsatz g. Der Wachstumsfaktor ist b = 1 + g. Der Barwert bei vorschüssiger Zahlung lautet:

B_vor = Σ_{k=0}^{n-1} a_0 b^k q^(-k) = Σ_{k=0}^{n-1} a_0(b/q)^k.

Mit der Formel für die endliche geometrische Reihe folgt:

B_vor = a_0 · (1 - (b/q)^n) / (1 - (b/q)), b ≠ q, und B_vor = a_0 n, b = q.

Der Endwert ergibt sich aus dem Barwert durch Aufzinsung um n Perioden.

Ewige Rente

Eine ewige Rente ist eine unendliche Folge von Zahlungen. In der Praxis kommt sie selten vor, kann aber reale Situationen näherungsweise modellieren. Außerdem dient sie in der Finanzmathematik zur Vereinfachung von Rechnungen und zur Herleitung von Formeln.

Weil es bei einer ewigen Rente kein Laufzeitende gibt, ist kein Endwert definiert. Der Barwert kann dagegen trotz unendlich vieler Zahlungen endlich sein. Im einfachen Fall einer konstanten Rentenhöhe r und eines konstanten Periodenzinses i > 0 konvergiert der Barwert gegen einen endlichen Wert. Es gilt:

B_nach = r · 1/i, B_vor = r · 1/i + 1.