Zinseszins

Kernidee und Entstehung

Zinseszins ist im Finanzwesen ein Zins, der auf fällige und dem Kapital hinzugefügte, also kapitalisierte, Zinsen erhoben wird. Diese Zinsen werden dadurch selbst Teil des Kapitals und werden zum geltenden Zinssatz erneut verzinst. Ohne Kapitalisierung gibt es keinen Zinseszinseffekt: Werden Kreditzinsen bezahlt oder Habenzinsen verbraucht, wird künftig nur das ursprüngliche Kapital verzinst. Ein typisches Beispiel ist der gutgeschriebene und nicht verbrauchte Sparzins auf Sparbüchern.

Zinseszins ist historisch eng mit Zinsverboten und Schuldnerschutz verbunden. Schon bei den Sumerern um 2400 v. Chr. gab es Begriffe für Zins und Zinseszins; unter König En-metena wurde um 2402 v. Chr. ein Schuldenerlass ermöglicht. Der Codex Hammurapi von 1755/1754 v. Chr. erlaubte Zinseszins unter bestimmten Bedingungen. Später regelten römisches Recht, kirchliches Recht, jüdische, christliche und islamische Vorschriften sowie europäische Gesetzbücher Zins und Zinseszins unterschiedlich. Häufig ging es darum, Schuldner vor einer erdrückenden Zinslast zu schützen.

Rechtliche Regeln

In Deutschland gilt grundsätzlich Vertragsfreiheit: Zinsvereinbarungen sind erlaubt, aber bestimmte Vereinbarungen zum Nachteil des Zinsschuldners sind verboten. Die vorherige Vereinbarung von Zinseszins, auch Anatozismus genannt, ist nach § 248 Abs. 1 BGB verboten; entgegenstehende Vereinbarungen sind nach § 134 BGB nichtig. Ausnahmen gelten für Kreditinstitute nach § 248 Abs. 2 BGB und beim Kontokorrent unter Kaufleuten nach § 355 Abs. 1 HGB. Außerdem sind Verzugszinsen nach § 289 BGB zinsfrei. Bei Verbraucherdarlehensverträgen ist Zinseszins nach § 497 Abs. 2 BGB nicht völlig ausgeschlossen, aber auf die Höhe des gesetzlichen Zinssatzes nach § 246 BGB beschränkt.

Auch international dienen Regelungen zu Höchstzinsen, Zinswucher, Zinseszinsverboten und absoluten Zinsverboten dem Schuldnerschutz. In der Schweiz ist der Anatozismus in Art. 314 Abs. 3 OR geregelt, mit Ausnahmen für Kontokorrent und Kreditinstitute. In Österreich erlaubt § 1335 ABGB Zinseszins nur bis die Zinsschuld auf den Betrag der Hauptschuld angewachsen ist; erst ab Streitanhängigkeit können Zinseszinsen verlangt werden. In Frankreich erlaubt Art. 1343-2 CC Zinseszins auf aufgelaufene Zinsen für ein Jahr, während Luxemburg in Art. 1154 Code civil Zinseszins innerhalb eines Jahres verbietet.

Wirtschaftliche Bedeutung

Zinsen sind für Kreditgeber und Anleger ein Risikomaß und eine Risikoprämie. Für Schuldner bedeuten sie eine Zahlungspflicht und damit ein Finanzrisiko. Zinseszins belastet Schuldner zusätzlich, begünstigt Gläubiger und kann Schulden oder Vermögen exponentiell wachsen lassen. Der Effekt ist umso stärker, je höher das Kapital, je höher der Zinssatz und je länger die Laufzeit ist.

Solange ein Schuldner Zins und Tilgung leisten kann, stellt sich das Problem des Zinseszinses nicht. Wenn aber rückständige Zinsen selbst verzinst werden, kann eine Schuldenfalle entstehen: Die Schulden wachsen exponentiell, werden immer weniger durch Vermögen gedeckt, und die Einnahmen reichen tendenziell nicht mehr zur Deckung der Zinslast aus.

Bei Staatsschulden tritt Zinseszins nur auf, wenn Staaten ihre Zinsen nicht bezahlen oder dafür neue Schulden aufnehmen müssen. Beispiele im Artikel sind Argentinien, das die Zahlung des Kapitaldienstes für seine erste, 1825 emittierte Staatsanleihe im Jahr 1829 für 28 Jahre bis 1857 einstellte, sowie ein weiteres Moratorium im April 1987. Staaten können Zinszahlungen auch durch Neuverschuldung refinanzieren; genannt werden die USA, die PIIGS-Staaten, hochverschuldete Entwicklungsländer und Deutschland bis 2013. Seit 2014 erwirtschaftet Deutschland Haushaltsüberschüsse, sodass sich dieses Problem dort laut Artikel nicht mehr stellt.

Berechnung

Die Zinseszinsrechnung ist ein Teilgebiet der Finanzmathematik. Sie berechnet, auf welches Endkapital K_n ein Anfangskapital K_0 nach n Perioden anwächst, wenn jede Periode mit einem festen Zinssatz p % verzinst wird und die Zinsen kapitalisiert werden.

Die grundlegende Formel lautet: K_n = K_0 · (1 + p/100)^n. Mit dem Zinsfaktor q kann man auch schreiben: K_n = K_0 · q^n. Dabei ist K_n das Endkapital, K_0 das Anfangskapital, p der Zinsfuß, q der Zinsfaktor und n die Anzahl der Perioden oder Jahre.

Der jährliche Zinswert in der i-ten Periode ergibt sich aus Z_i = K_{i-1} · p/100. Nach der ersten Periode wird aus K_0 durch Hinzufügen der Zinsen K_1 = K_0 · (1 + p/100). In der zweiten Periode wird K_1 wieder verzinst, sodass K_2 = K_0 · (1 + p/100)^2 entsteht. Allgemein bedeutet das: Nach n Perioden wurde das Anfangskapital n-mal mit dem Aufzinsungsfaktor (1 + p/100) multipliziert.

Beispiel und Inflation

Das Artikelbeispiel vergleicht eine Kapitalanlage von 1000 € bei 5 % Verzinsung über 50 Jahre. Ohne Zinseszins werden die jährlichen Zinsen nicht wieder angelegt, sondern entnommen und getrennt gesammelt. Dann ergibt sich nach 50 Jahren: K_50 = 1000,00 € · (1 + 50 · 5/100) = 3500,00 €.

Mit Zinseszins werden die jährlichen Zinsen dem jeweils neu anzulegenden Betrag zugeschlagen. Dann wird aus denselben 1000 € nach 50 Jahren: K_50 = 1000,00 € · (1 + 5/100)^50 = 11.467,40 €.

Inflation kann den Effekt stark verringern. Bei 3 % Inflation beträgt der Geldwert nach 50 Jahren wegen 1 / 1,03^50 = 0,228 nur noch 22,8 % des ursprünglichen Werts. Die 11.467 € haben dann nur noch eine Kaufkraft von 2.616 € bezogen auf den Anfangszeitpunkt. Die 3500 € ohne Zinseszins hätten nur noch eine Kaufkraft von 798 €. Um den realen Wert eines Guthabens bei Inflation zu erhalten, muss die Verzinsung ebenfalls exponentiell über Zinseszins erfolgen.

Folgen des exponentiellen Wachstums

Wenn Zinsen kapitalisiert werden, wächst das Gesamtkapital exponentiell. Die Zinseszinsformel ist deshalb eine Sonderform des exponentiellen Wachstums: K(t) = K_0 · (1 + p/100)^t = K_0 · q^t = K_0 · e^{rt}. Dabei ist t die Anzahl der Zinsperioden, p/100 die Wachstumsrate, q = 1 + p/100 der Wachstumsfaktor und r = ln(q) die Wachstumskonstante. Für kleine Prozentsätze unter 10 % gilt näherungsweise: r = ln(1 + p/100) ≈ p/100. Aus solchen Formeln lässt sich auch die 72er-Regel als Näherung für die Verdopplungszeit eines Investments ableiten.

Der Artikel beschreibt außerdem einen Zusammenhang zwischen Zinseszins und Vermögenskonzentration. Joseph E. Fargione, Clarence Lehman und Stephen Polasky zeigten 2011, dass zufällige Schwankungen individueller Renditen zusammen mit dem Zinseszinseffekt zu unbegrenzter Vermögenskonzentration führen können. Das bestätigt eine Entdeckung von Anirban Chakraborti aus dem Jahr 2002 mithilfe von Computersimulationen. Der Mechanismus hängt in dem Modell von der Streubreite der Renditen ab und nicht von der mittleren Rate. Ohne Zinseszins, also bei einfacher Verzinsung, tritt diese Vermögenskonzentration im beschriebenen Beispiel nicht auf.