Barwert

Grundidee und Zweck

Der Barwert, auch Gegenwartswert genannt (englisch present value), ist ein Grundbegriff der Finanzmathematik. Er beschreibt den Wert, den zukünftige Zahlungen heute besitzen. Berechnet wird er, indem zukünftige Zahlungen abgezinst und anschließend summiert werden.

Der Barwert ist wichtig, weil Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten nicht direkt vergleichbar sind. Geld kann in der Regel zinsbringend am Kapitalmarkt angelegt werden; deshalb sind frühere Zahlungen üblicherweise mehr wert als spätere Zahlungen. Um Zahlungen vergleichbar zu machen, werden sie auf einen gemeinsamen Zeitpunkt bezogen. Bei einer Barwertbetrachtung ist dieser Zeitpunkt die Gegenwart, also „heute“.

Barwerte ermöglichen einen Barwertvergleich: Zahlungen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen, können miteinander verglichen, zusammengefasst und bewertet werden. Neben dem finanzmathematischen Barwert gibt es den versicherungsmathematischen Barwert, der zusätzlich Unsicherheiten wie Sterbewahrscheinlichkeiten berücksichtigt.

Einzelzahlung und Zahlungsreihe

Im einfachsten Fall wird der Barwert einer einzigen zukünftigen Zahlung berechnet. Fällt eine Zahlung Z_t zum zukünftigen Zeitpunkt t an, wird sie mit einem Diskontierungsfaktor d(t,0) multipliziert. Dieser Faktor beschreibt das Austauschverhältnis zwischen einer Geldeinheit zum Zeitpunkt t und einer Geldeinheit zum Zeitpunkt 0, also heute:

BW(Z_t)=Z_t · d(t,0).

In der Praxis entsteht dieses Austauschverhältnis für jeden zukünftigen Zeitpunkt durch Angebot und Nachfrage auf den Finanzmärkten. In der Theorie hängt es vom verwendeten Zinsmodell ab. Häufig wird ein konstanter Periodenzinssatz i und eine jährliche Zinsperiode angenommen. Wenn t eine ganze Zahl von Jahren ist, gilt dann:

d(t,0)=1/(1+i)^t

und damit:

BW(Z_t)=Z_t/(1+i)^t.

Bei einer Zahlungsreihe werden mehrere Zahlungen Z_t1, Z_t2, … zu zukünftigen Zeitpunkten t_1, t_2, … betrachtet. Der Barwert der Reihe ergibt sich, indem die Barwerte aller einzelnen Zahlungen addiert werden:

BW(Z_t1,Z_t2,…)=Σ_k Z_tk · d(t_k,0).

Bei konstantem Periodenzinssatz i und Zahlungen zum Periodenende lautet die spezielle Formel:

BW(Z_1,Z_2,…)=Σ_t Z_t/(1+i)^t.

Anleihen und Renten

Die Barwertformel wird häufig zur Berechnung des theoretischen Preises einer festverzinslichen Anleihe verwendet. Eine Anleihe hat einen Nominalwert N, eine Laufzeit von T ganzen Jahren und konstante jährliche Kuponzahlungen C. Die Zahlungsreihe lautet dann (C,C,…,C+N): In den Jahren bis zur Fälligkeit werden Kupons gezahlt, am Ende zusätzlich der Nominalwert zurückgezahlt. Bei konstantem Marktzins i beträgt der Barwert:

BW(C,C,…,C+N)=C/(1+i)+C/(1+i)^2+…+C/(1+i)^T+N/(1+i)^T.

Mit der Formel für die endliche geometrische Reihe lässt sich dies kompakt schreiben als:

BW(C,C,…,C+N)=C · ((1+i)^T−1)/((1+i)^T · i)+N/(1+i)^T.

Liegt die erste Kuponzahlung weniger als ein Jahr in der Zukunft, enthält der Barwert zeitanteilige Stückzinsen für den ersten Kupon. Dieser Preis heißt „dirty price“. Zieht man davon die zeitanteilig abgegrenzten Stückzinsen ab, erhält man den „clean price“. Der „clean price“ ist der in Börsennotizen und Kurslisten angegebene Preis; der „dirty price“ ist der tatsächlich bei einer Veräußerung gezahlte Preis.

Eine Rente ist in der Finanzmathematik eine periodische Folge von Zahlungen. Fließen die Zahlungen unbegrenzt lange, spricht man von einer ewigen Rente; sind sie zeitlich begrenzt, von einer Zeitrente. Der Barwert einer nachschüssigen ewigen Rente mit jährlicher Zahlung R beträgt bei konstantem Periodenzinssatz i:

BW(R,R,…)=R · 1/i.

Eine nachschüssige Zeitrente, die n Jahre lang jeweils R zahlt, hat den Barwert:

BW(R,R,…,R)=R · ((1+i)^n−1)/(i(1+i)^n).

Der Ausdruck neben R ist der Rentenbarwertfaktor. Der Barwert einer konstanten Rente ergibt sich also aus der konstanten Rentenzahlung R multipliziert mit diesem Faktor.

Beispiele zur Rente

Bei einem Zinssatz von 5 % ist der Barwert einer ewigen Rente 20-mal so groß wie die jährliche Zahlung. Der Rentenbarwertfaktor beträgt also 20.

Bei einer 30 Jahre laufenden Rente beträgt der Barwert das 15,4-fache der jährlichen Zahlung. Der Rentenbarwertfaktor ist 15,4.

Bei einer einjährigen Rente ist der Barwert 1/1,05-mal so hoch wie die Ausschüttung. Der Rentenbarwertfaktor beträgt 1/1,05 und ist etwas größer als 0,95.

Kapitalwert von Investitionen

Der Kapitalwert (englisch net present value) ist eine Barwertbetrachtung zur Beurteilung der Wirtschaftlichkeit von Investitionen. Dabei wird der Barwert aller mit der Investition verbundenen Einzahlungen und Auszahlungen über den Amortisationszeitraum der Investition berechnet.

Eine Investition gilt als wirtschaftlich, wenn dieser Barwert positiv ist. Auszahlungen entstehen typischerweise durch Investitionsausgaben und fallen deshalb meist am Anfang des betrachteten Zeitraums an. Nettoeinzahlungen entstehen aus den erwarteten zusätzlichen Erlösen der Investition. Sie werden typischerweise erst später erwartet und daher stärker diskontiert.

Versicherungsmathematischer Barwert

Der versicherungsmathematische Barwert ist eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts. Während der finanzmathematische Barwert zukünftige Zahlungen nur durch Abzinsung auf die Gegenwart bezieht, berücksichtigt der versicherungsmathematische Barwert zusätzlich statistische oder stochastische Größen, zum Beispiel Sterbewahrscheinlichkeiten. Dadurch bezieht er die Unsicherheit zukünftiger Zahlungen ein.

Definiert wird der Barwert eines Versicherungsvertrages als Erwartungswert der abdiskontierten Leistungen:

Barwert=ES.

Bei einer Leibrente ist der versicherungsmathematische Barwert die Summe aller möglichen zukünftigen Rentenzahlungen, einschließlich möglicher Hinterbliebenenrentenzahlungen nach dem Tod des Rentenempfängers. Jede Zahlung wird mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens gewichtet und auf den Berechnungszeitpunkt abgezinst. So kann der Barwert auch als Preis verstanden werden, den ein Versicherungsunternehmen einmalig zum Vertragsabschluss verlangen muss, um die Versicherungsleistungen erbringen zu können. Er ist damit der Gegenwert der reinen Versicherungsleistung und wird auch Nettoprämie genannt.

Für einen Versicherten mit Eintrittsalter x und Restlebenszeit T_x wird bei einer Sofortrente mit n Rentenzahlungen zu Beginn des k+1-ten Versicherungsjahres eine Zahlung R fällig, sofern T_x>k gilt. Die abdiskontierte Gegenleistung lautet:

S=Σ_{k=0}^{n−1} Rv^k 1_{T_x>k}.

Der Barwert ist dann:

ES=RΣ_{k=0}^{n−1} v^k P(T_x>k)=Σ_{k=0}^{n−1} v^k _kp_x.