72er-Regel

Grundidee und Anwendungsbereich

Die 72er-Regel ist eine Faustformel der Zinsrechnung. Sie schätzt die Verdopplungszeit: also die Zeit, nach der sich ein Kapital bei Zinseszinsen verdoppelt. Dazu wird 72 durch den jährlichen Zinsfuß p geteilt. Die Regel ist nützlich, weil sich Verdopplungszeiten schnell überschlagen lassen, ohne die exakte Zinseszinsformel oder Logarithmen zu berechnen.

Sie gilt nicht nur für Kapitalanlagen, sondern kann für jede Art exponentiellen Wachstums verwendet werden. Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn eine Größe in gleichen Zeitabschnitten jeweils um denselben Prozentsatz wächst. Die 72er-Regel liefert dabei nur einen Näherungswert.

Formeln und Beispiele

Für die Verdopplungszeit t in Jahren bei einem jährlichen Zinssatz p % lautet die 72er-Regel:

t ≈ 72/p

Umgekehrt kann bei vorgegebener Verdopplungszeit t der erforderliche Zinsfuß abgeschätzt werden:

p ≈ 72/t

Bei 8 % pro Jahr ergibt sich t ≈ 72/8 Jahre = 9 Jahre. Ein Kapital verdoppelt sich nach dieser Regel also ungefähr alle 9 Jahre.

Soll sich ein Kapital in t = 12 Jahren verdoppeln, ergibt sich p ≈ 72 Jahre / 12 Jahre = 6. Der Zinsfuß beträgt dann ungefähr 6 %.

Exakte Grundlage und Herleitung

Bei jährlicher Verzinsung beschreibt die Zinseszinsformel das Endkapital Kₜ einer festverzinslichen Anlage:

Kₜ = K₀(1 + p/100)ᵗ

Dabei ist K₀ das Anfangskapital, p der Zinssatz und t die Laufzeit in Jahren. Für eine Verdopplung setzt man Kₜ = 2K₀. Nach Anwendung des Logarithmus und Auflösen nach t erhält man die exakte Verdopplungszeit:

t = ln(2) / ln(1 + p/100)

Für kleine x > 0 gilt näherungsweise ln(1 + x) ≈ x. Mit ln(2) = 0,6931… folgt:

t ≈ 0,6931… / (p/100) = 69,31…/p

Die 72er-Regel entsteht, indem ln(2) zusätzlich durch 0,72 angenähert wird. Die Zahl 72 hat viele kleine Teiler, denn 72 = 2³ · 3². Deshalb lässt sie sich in der Praxis oft leicht durch übliche Zinssätze teilen.

Varianten der Regel

Wird ln(2) stattdessen durch 0,69 oder 0,70 angenähert, entstehen die 69er- und die 70er-Regel:

t ≈ 69/p beziehungsweise t ≈ 70/p.

Für die 69er-Regel gibt es außerdem eine durch numerische Approximation gefundene Ergänzung:

t ≈ 69/p + 0,35.

Mit dieser Formel lässt sich die Logarithmusfunktion im Bereich 0 < p < 35 mit höchstens 0,5-prozentiger Abweichung annähern. Ersetzt man das Absolutglied 0,35 durch 0,32, liegen die Abweichungen für 0 < p < 100 bei höchstens einem Prozent gegenüber den exakten Verdopplungszeiten.

Eine Reihenentwicklung liefert als erste zwei Terme der Laurent-Reihe an der Entwicklungsstelle p = 0:

t(p) ≈ 100 · ln(2)/p + ln(2)/2 = 69,3147/p + 0,346574.

Gerundet ergibt dies t(p) ≈ 69/p + 0,35.

Genauigkeit bei verschiedenen Zinssätzen

Die Genauigkeit hängt vom Zinssatz ab. Bei niedrigen Zinssätzen liegt die 72er-Regel über der exakten Verdopplungszeit: Bei 1 % beträgt die exakte Zeit 69,661 Jahre, die 72er-Regel ergibt 72,000 Jahre. Bei 2 % sind es exakt 35,003 Jahre und nach der Regel 36,000 Jahre.

Im Bereich mittlerer Zinssätze ist sie besonders nah am exakten Wert. Bei 8 % lautet die exakte Verdopplungszeit 9,006 Jahre, die 72er-Regel liefert 9,000 Jahre. Bei 9 % ergeben sich exakt 8,043 Jahre und näherungsweise 8,000 Jahre.

Bei höheren Zinssätzen wird die 72er-Regel zunehmend ungenauer und unterschätzt die Verdopplungszeit. Bei 20 % sind es exakt 3,802 Jahre, nach der 72er-Regel 3,600 Jahre; bei 50 % exakt 1,710 Jahre, nach der Regel 1,440 Jahre. Die Näherung 69/p + 0,35 liegt in den aufgeführten Beispielen häufig näher am exakten Wert, etwa bei 20 % mit 3,800 Jahren und bei 50 % mit 1,730 Jahren.