Sparkassenformel

Grundidee und Begriffe

Als Sparkassenformeln bezeichnet man in der Finanzmathematik Formeln, mit denen das Endkapital eines Anfangskapitals berechnet wird, wenn regelmäßig gleichbleibende Beträge gezahlt werden und sowohl das Anfangskapital als auch diese Beträge verzinst werden. Typisch ist regelmäßiges Sparen mit einer festen Rate, die jedes Jahr eingezahlt wird. Die Formeln lassen sich aber auch auf regelmäßige Entnahmen oder auf Kredite mit konstanten Raten anwenden.

Die Sparkassenformel verbindet zwei wichtige Ideen: die Endwertberechnung bei Zinseszinsen und die Rentenrechnung. Zinseszins bedeutet, dass nicht nur das ursprüngliche Kapital verzinst wird, sondern später auch die bereits erhaltenen Zinsen. Rentenrechnung bedeutet hier die Berechnung regelmäßiger gleich hoher Zahlungen über mehrere Zeitpunkte hinweg.

Wichtige Größen sind das Anfangskapital K_0, das Endkapital K_n nach n Jahren, der jährliche Zinssatz i und der Zinsfaktor q = 1 + i. Die Rate heißt R. Sie kann dem Kapital zugeführt werden, dann handelt es sich um Kapitalaufbau. Sie kann dem Kapital entnommen werden, dann handelt es sich typischerweise um Kapitalabbau. Für Kredite gilt die Formel ebenfalls, wenn das Anfangskapital K_0 negativ ist.

Formeln für nachschüssige und vorschüssige Raten

Die Formeln gelten für einen jährlichen Zinssatz i != 0 mit Zinsfaktor q = 1 + i und q != 1. Das Anfangskapital K_0 steht zu Beginn des ersten Jahres zur Verzinsung bereit. Über genau n Jahre wird verzinst, und jedes Jahr wird eine gleichbleibende Rate R zugeführt oder entnommen.

Bei nachschüssiger Rate wird R am Ende jedes Jahres zugeführt oder entnommen. Dann lautet die Formel: K_n = K_0 · q^n ± R · (q^n - 1) / (q - 1)

Bei vorschüssiger Rate wird R am Anfang jedes Jahres zugeführt oder entnommen. Dann lautet die Formel: K_n = K_0 · q^n ± R · q · (q^n - 1) / (q - 1)

Das Pluszeichen wird verwendet, wenn die Rate eingezahlt wird und das Kapital wachsen soll. Das Minuszeichen wird verwendet, wenn die Rate entnommen wird und das Kapital dadurch sinkt. Der Unterschied zwischen nachschüssig und vorschüssig ist wichtig: Eine vorschüssige Einzahlung oder Entnahme geschieht früher im Jahr und wird deshalb in diesem Jahr noch mitverzinst. Darum steht in der vorschüssigen Formel zusätzlich der Faktor q vor dem Ratenteil.

Herleitung der nachschüssigen Zahlung

Bei nachschüssiger Ratenzahlung wird die Rate jeweils am Ende eines Jahres gezahlt. Nach Ablauf des ersten Jahres wird zuerst das Anfangskapital mit dem Zinsfaktor q verzinst, danach kommt die Rate R hinzu oder wird abgezogen: K_1 = K_0 · q ± R

Im zweiten Jahr wird wieder das vorhandene Kapital verzinst und anschließend die Rate gezahlt: K_2 = K_1 · q ± R = K_0 · q^2 ± R(1 + q)

Im dritten Jahr ergibt sich entsprechend: K_3 = K_2 · q ± R = K_0 · q^3 ± R(1 + q + q^2)

Allgemein entsteht nach n Jahren: K_n = K_{n-1} · q ± R = K_0 · q^n ± R(1 + q + q^2 + ... + q^{n-1})

Die Klammer enthält eine geometrische Reihe. Ersetzt man diese Summe durch die Formel für die geometrische Reihe, erhält man die Sparkassenformel für nachschüssige Ratenzahlung: K_n = K_0 · q^n ± R · (q^n - 1) / (q - 1).

Herleitung der vorschüssigen Zahlung

Bei vorschüssiger Ratenzahlung wird die Rate schon am Anfang eines Jahres gezahlt. Deshalb wird nicht nur das Vorjahreskapital, sondern auch die am Jahresanfang gezahlte Rate in diesem Jahr verzinst.

Im ersten Jahr gilt daher: K_1 = (K_0 ± R) · q = K_0 · q ± R · q

Die weitere Herleitung entspricht der nachschüssigen Ratenzahlung, aber anstelle von R wird qR verwendet. Das bedeutet: Jede Rate wirkt so, als wäre sie zusätzlich um ein Jahr verzinst worden, weil sie bereits am Jahresanfang gezahlt wurde.

Daraus folgt die Sparkassenformel für vorschüssige Ratenzahlung: K_n = K_0 · q^n ± R · q · (q^n - 1) / (q - 1).

Typische Rechenbeispiele

Ein Beispiel für Kapitalaufbau: Ein Anleger besitzt ein Anfangskapital von 10.000 Euro und zahlt jeweils am Jahresende 1.000 Euro ein. Der jährliche Zinssatz beträgt 2 %, die Laufzeit beträgt fünf Jahre. Es handelt sich um eine nachschüssige Rate. Mit K_0 = 10.000 Euro, R = 1.000 Euro, i = 2 % und n = 5 ergibt sich: K_5 = 10.000 Euro · 1,02^5 + 1.000 Euro · (1,02^5 - 1) / 0,02 = 16.244,85 Euro. Der Anleger verfügt nach fünf Jahren also über 16.244,85 Euro.

Ein Beispiel für Kapitalabbau: Ein Bankkunde hat 8.000 Euro auf einem Sparbuch, das jährlich mit 0,5 % verzinst wird. Zu Beginn jedes Jahres entnimmt er 500 Euro. Die Laufzeit beträgt zehn Jahre. Es handelt sich um eine vorschüssige Entnahme. Mit K_0 = 8.000 Euro, R = 500 Euro, i = 0,5 % und n = 10 ergibt sich: K_10 = 8.000 Euro · 1,005^10 - 500 Euro · 1,005 · (1,005^10 - 1) / 0,005 = 3.269,54 Euro. Nach zehn Jahren befinden sich noch 3.269,54 Euro auf dem Sparbuch.