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Zehnerpotenz

Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 10 und einem ganzzahligen Exponenten. Eine wichtige Anwendung der Zehnerpotenzen ist die Schreibweise von …

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Inhalt5 Abschnitte
  1. 1. Definition und Bedeutung
  2. 2. Wichtige Zehnerpotenzen
  3. 3. Rechnen mit Zehnerpotenzen
  4. 4. SI-Präfixe bei Maßeinheiten
  5. 5. Wissenschaftliche Notation und Diagramme

Definition und Bedeutung

Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 10 und einem ganzzahligen Exponenten. Sie haben die Form 10^n, wobei n der Exponent ist. Der Exponent gibt bei positiven Zehnerpotenzen an, wie viele Nullen in der Dezimalschreibweise hinter der 1 stehen. Zum Beispiel bedeutet 10^6 „zehn hoch sechs“: eine 1 mit 6 Nullen, also 1 000 000, eine Million.

Zehnerpotenzen sind wichtig, weil das Dezimalsystem auf der Zahl 10 beruht. Mit ihnen lassen sich sehr große und sehr kleine Zahlen kurz und übersichtlich schreiben. Eine wichtige Anwendung ist die Schreibweise von Gleitkommazahlen, besonders in der technischen Notation und in der wissenschaftlichen Notation.

Wichtige Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen können positive, negative oder den Exponenten 0 haben. 10^0 ist 1. Positive Exponenten stehen für große Zahlen: 10^1 = 10, 10^2 = 100, 10^3 = 1 000, 10^6 = 1 000 000, 10^9 = 1 000 000 000 und 10^12 = 1 000 000 000 000.

Negative Exponenten stehen für kleine Dezimalzahlen: 10^-1 = 0,1, 10^-2 = 0,01, 10^-3 = 0,001, 10^-6 = 0,000 001, 10^-9 = 0,000 000 001 und 10^-12 = 0,000 000 000 001.

Für viele Zehnerpotenzen gibt es Zahlennamen. Beispiele sind Million für 10^6, Milliarde für 10^9, Billion für 10^12, Trillion für 10^18, Quadrillion für 10^24 und Quintillion für 10^30. Entsprechend gibt es auch Namen für sehr kleine Werte, etwa Millionstel für 10^-6, Milliardstel für 10^-9 und Billionstel für 10^-12.

Rechnen mit Zehnerpotenzen

Beim Rechnen mit Zehnerpotenzen gelten einfache Regeln. Multipliziert man eine natürliche Zahl mit einer Zehnerpotenz, werden die Nullen der Zehnerpotenz an die natürliche Zahl angehängt.

Multipliziert man einen Dezimalbruch mit einer Zehnerpotenz, rückt das Komma so viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Wenn nötig, werden hinten Nullen ergänzt.

Dividiert man einen Dezimalbruch durch eine Zehnerpotenz, rückt das Komma so viele Stellen nach links, wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Wenn nötig, werden vorne Nullen ergänzt.

SI-Präfixe bei Maßeinheiten

Das Internationale Einheitensystem (SI) definiert Vorsätze für Maßeinheiten. Diese Vorsätze stehen für Faktoren, die Zehnerpotenzen entsprechen. Dadurch kann man lange Zahlenfolgen oder ausgeschriebene Zehnerpotenzen bei messbaren Größen oft vermeiden.

Beispiele für SI-Präfixe sind Milli für 10^-3, Mikro für 10^-6, Nano für 10^-9, Kilo für 10^3, Mega für 10^6, Giga für 10^9 und Tera für 10^12. Auch sehr große und sehr kleine Vorsätze kommen vor, etwa Quekto für 10^-30 und Quetta für 10^30.

Beispiele aus dem Artikel: 17 000 Meter = 1,7·10^4 Meter = 17 Kilometer = 17 km. Außerdem gilt: 1 Kilowattstunde = 3 600 000 Joule = 3.6e^6 J = 3,6 MJ.

Wissenschaftliche Notation und Diagramme

Zehnerpotenzen werden verwendet, um sehr große und sehr kleine Zahlen kompakt darzustellen. Die wissenschaftliche Notation, kurz SCI für englisch scientific, schreibt eine Dezimalzahl als normierte Mantisse und einen Potenzfaktor zur Basis 10. Die Mantisse ist dabei der Zahlenanteil vor dem Potenzfaktor.

Beispiele: 4.711e^3 = 4711, 4.711e^2 = 471,1 und 4.711e^-9 = 0,000 000 004 711.

Auch Diagrammachsen werden bei sehr großen Wertebereichen oft nicht linear, sondern logarithmisch in Zehnerpotenzen eingeteilt. Ein Beispiel ist das Hertzsprung-Russell-Diagramm aus der Astronomie. Dort kann auf der Ordinate eine Skala von 0,000 01 bis 100 000 Einheiten der Sonnen-Leuchtkraft L_0 stehen. Auf einer solchen Skala liegt die Mitte zwischen 10 und 100 L_0 nicht bei 20 oder 50, sondern bei rund 32 L_0. Das ist das geometrische Mittel von 10^1 und 10^2, also 10^1,5 beziehungsweise die Wurzel aus 10·100.

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