Zahlensystem

Grundidee und Bedeutung

Ein Zahlensystem oder Ziffernsystem legt fest, wie eine Zahl dargestellt wird. Das ist besonders wichtig, wenn der Wert einer Zahl nicht direkt abzählbar oder sofort erkennbar ist, etwa anders als bei Punkten auf einem Spielwürfel. Damit Zahlen übersichtlich geschrieben werden können, verwendet man meist eine kleine Anzahl von Ziffern und Regeln dafür, wie diese Ziffern angeordnet werden.

Ziffern können eigene Zeichen sein oder Zeichen, die auch anderswo vorkommen, zum Beispiel Buchstaben als römische Ziffern. In leistungsfähigen Zahlensystemen können zur Ziffernfolge weitere Zeichen hinzukommen, etwa Vorzeichen, Dezimaltrennzeichen und Tausendertrennzeichen.

Der Artikel unterscheidet vor allem drei Arten von Ziffernsystemen: Stellenwertsysteme, Additionssysteme und Hybridsysteme. Sie unterscheiden sich vor allem darin, ob die Position einer Ziffer ihren Wert verändert und ob besondere Zeichen für Gewichtungsfaktoren verwendet werden.

Stellenwertsysteme

Ein Stellenwertsystem, auch Positionssystem genannt, ist ein Zahlensystem, in dem der Wert einer Ziffer davon abhängt, an welcher Stelle sie steht. Dieses System hat sich besonders bewährt und fast weltweit verbreitet. Ein bekanntes Beispiel ist das Dezimalsystem.

Die Grundidee lautet: Eine Ziffer wird je nach Position mit einem bestimmten Faktor gewichtet. In der Zahl 20 steht die 2 an der Zehnerstelle und wird daher mit dem Faktor zehn multipliziert. In der Zahl 200 steht die 2 an der Hunderterstelle und wird mit dem Faktor hundert multipliziert. Der Wert der ganzen Zahl ist die Summe der gewichteten Ziffernwerte.

Im Alltag und in der Wissenschaft werden Zahlen meist durch Ziffern wie 0, 1, 2, …, 9 sowie durch weitere Zahlenzeichen dargestellt. Dazu gehören Vorzeichen wie plus und minus sowie Trennzeichen wie Komma oder Leerzeichen. Die Anzahl der verwendeten Ziffern heißt Basis des Stellenwertsystems. Wichtige Basen sind 2 im Dualsystem, 8 im Oktalsystem, 10 im Dezimalsystem und 16 im Hexadezimalsystem, das in der Datenverarbeitung wichtig ist.

Aufbau eines Stellenwertsystems

Die Ziffern eines Stellenwertsystems haben eine durch Konvention festgelegte Reihenfolge ihres Wertes. Beim Hochzählen, also bei der Addition von Eins, geht man in dieser Reihenfolge zur nächsten Ziffer über. Wird auf die höchstwertige Ziffer eine Eins addiert, beginnt man wieder bei der niederwertigsten Ziffer, und auf der nächsthöheren Stelle wird eine Eins addiert.

Die Stellenwerte sind Potenzen der Basis. Im Dezimalsystem sind das zum Beispiel Einerstelle, Zehnerstelle und Hunderterstelle. Die Stelle mit der niedrigsten Bewertung steht ganz rechts. Um den Zahlenwert zu berechnen, multipliziert man die einzelnen Ziffernwerte mit den zugehörigen Stellenwerten und addiert diese Produkte.

Mit einem Stellenwertsystem lässt sich jede natürliche Zahl darstellen. Für negative Zahlen setzt man links vor die Ziffernfolge ein Vorzeichen, das angibt, ob die Zahl positiv oder negativ ist. Durch negative Exponenten können auch rationale Zahlen geschrieben werden. Der Übergang von nichtnegativen zu negativen Exponenten wird durch ein Trennzeichen markiert, zum Beispiel durch ein Komma oder einen Punkt.

Darstellungsbereich

Der Darstellungsbereich beschreibt, welche Zahlen in einem Zahlensystem oder in einer konkreten Darstellung möglich sind. Wenn unbegrenzt viele Stellen zur Verfügung stehen, kann man die Menge der darstellbaren Zahlen an einer Zahlengeraden veranschaulichen.

Steht nur eine begrenzte Anzahl von Stellen zur Verfügung, wird die Situation durch einen Zahlenkreis veranschaulicht. Das ist zum Beispiel bei achtstelligen Dualzahlen relevant. Bei einer solchen Beschränkung kann eine Addition oder Subtraktion dazu führen, dass man den Bereich der darstellbaren Zahlen verlässt.

Additionssysteme

In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Die Position einer Ziffer verändert ihren Wert nicht. Außerdem gibt es in solchen Systemen kein Zeichen für die Null. Ein einfaches Beispiel ist das Strichsystem oder Unärsystem.

Im Unärsystem wird die Zahl n durch n Striche dargestellt. Es eignet sich besonders, wenn etwas schriftlich mitgezählt werden soll, zum Beispiel Getränke auf einem Bierdeckel. Dieses System gehört vermutlich zu den ältesten Zählsystemen überhaupt. Bei größeren Zahlen wird es schnell unübersichtlich. Deshalb fasst man Striche oft in Blöcken zusammen, etwa indem jeder fünfte Strich quer über die vier vorherigen Einzelstriche gelegt wird.

Trotz seiner Schwächen bei großen Zahlen wird das Unärsystem im Alltag weiterhin verwendet, weil eine Addition sehr einfach ist: Man fügt nur einen weiteren Strich hinzu. Das römische Ziffernsystem ist ein komplizierteres Additionssystem. Es verwendet Buchstaben für 5er- und 10er-Zahlen, zum Beispiel V für fünf. Es gibt zusätzliche Regeln zur Stellung der Zeichen: XI bedeutet elf, IX bedeutet neun. Trotzdem bleibt der Wert der einzelnen Zeichen gleich; ein I ist immer eine Eins.

Hybridsysteme

Hybridsysteme verbinden Eigenschaften von Ziffernsystemen mit Gewichtungsfaktoren. Neben Ziffern enthalten sie Zeichen für bestimmte Größenordnungen. Ein ähnliches Prinzip findet man im Deutschen, wenn man statt 3 000 000 oder 3'000'000 auch 3 Millionen schreibt. In Naturwissenschaft und Technik kann dafür auch 3e^{6} stehen.

In einigen Zehner-Zahlensystemen gibt es neben den Ziffern für die natürlichen Zahlen 1…9 zusätzliche Ziffern für Zehnerpotenzen. Die Werte werden paarweise kombiniert und miteinander multipliziert. Solche Systeme kamen in europäischen Zahlensystemen so gut wie nicht vor, aber schon seit Beginn des zweiten Jahrtausends v. Chr. in Mesopotamien, später auch in China und im Nahen Osten allgemein. Außerdem sind hybride Zahlensysteme aus Äthiopien, Südindien, Sri Lanka und der Maya-Kultur bekannt.

Ein Beispiel aus dem traditionellen chinesischen Ziffernsystem ist 三万六十 für dreimal zehntausend plus sechsmal zehn, also 30 060 bzw. 30'060. Im japanisch-chinesischen Zahlensystem steht 二十三 für 23, also 2 × 10 + 3. 三万 steht für 30 000, also 3 × 10 000.