Eins

Grundbedeutung und mathemische Rolle

Die Eins (1) ist die natürliche Zahl zwischen null und zwei. Sie ist positiv, ungerade, eine Quadratzahl und eine Kubikzahl. Sie ist keine Primzahl, aber Teiler jeder natürlichen Zahl. Häufig wird sie als kleinste natürliche Zahl verwendet; manche Autoren zählen die natürlichen Zahlen jedoch von null an.

In der Multiplikation ist 1 das neutrale Element: Multipliziert, dividiert oder potenziert man eine Zahl mit 1, bleibt ihr Wert unverändert. In einem Ring heißt dieses neutrale Element Einselement. In solchen mathematischen Systemen können andere Rechenregeln gelten, sodass Ausdrücke wie 1 + 1 verschiedene Bedeutungen und Ergebnisse haben können.

Die Primfaktorzerlegung der 1 ist das leere Produkt mit 0 Faktoren; dieses hat definitionsgemäß den Wert 1. In der Analysis wird die 1 oft zusammen mit 0, π, e und i zu den fünf wichtigsten Konstanten gezählt. Die eulersche Identität e^(iπ) + 1 = 0 stellt einen Zusammenhang zwischen diesen Konstanten her.

In der linearen Algebra bezeichnet man mit 1 unter anderem Einsvektoren und Einsmatrizen, deren Elemente alle gleich dem Einselement sind, sowie die identische Abbildung. In der Mengenlehre heißt eine Menge mit genau einem Element einelementige Menge, Elementarmenge, Einermenge oder Singleton. Beispiele sind {1} und {{1,2,3}}, denn im zweiten Fall ist das einzige Element die Menge {1,2,3}.

Weitere mathematische Eigenschaften

Eine einstellige Verknüpfung ist eine Verknüpfung mit nur einem Operanden. Ein einfaches Beispiel ist das unäre Minus, mit dem die Gegenzahl einer Zahl gebildet wird.

Die Eins ist eine Størmer-Zahl und in allen Fällen die erste positive Polygonalzahl. In der Fibonacci-Folge bildet sie das zweite und dritte Element. Außerdem gilt sie als erste Glückliche Zahl.

Wird eine von 0 verschiedene Zahl mit 0 potenziert, ist das Ergebnis per Definition 1. Es gilt also zum Beispiel 1^0 = 1. Der Ausdruck 0^0 bleibt entweder undefiniert oder wird, wenn es zweckmäßig ist, ebenfalls als 1 definiert.

In der Geometrie werden einfache Bezüge zur Eins genannt: Eine Kugel hat nur eine Fläche, und ein Kegel hat nur eine Kante.

Schreibweisen und Zahlensysteme

Das Symbol 1 wird als Ziffer in Stellenwertsystemen verwendet. Steht die Ziffer allein, bedeutet sie gewöhnlich die Zahl Eins. Im Dualsystem ist sie die größte Ziffer; auch in Oktal-, Duodezimal- und Hexadezimalsystem wird die Eins als 1 dargestellt. Die römische Zahl für eins ist I.

Handschriftlich wird die 1 in Deutschland nach der lateinischen Ausgangsschrift meist in zwei Zügen geschrieben: zuerst ein kleiner Schrägstrich von links unten nach rechts oben, dann ohne Absetzen ein längerer Abstrich. Diese Form entspricht auch der Österreichischen Schulschrift und der Schweizer Schnürlischrift. Im englischsprachigen Raum wird die 1 oft nur als senkrechter Strich geschrieben; deshalb kann die kontinentaleuropäische Form dort mit einer 7 verwechselt werden. Bei römischen Zahlen und Binärzahlen wird die 1 auch im deutschsprachigen Raum als Strich geschrieben.

Andere Zahlschriften haben eigene Zeichen oder Buchstabenwerte für die Eins: arabisch ١, Devanagari १, Malayalam ൧, chinesisch 一 und armenisch Ա. In der hebräischen Schrift hat der Buchstabe Aleph (א) den Zahlenwert 1, in der arabischen Schrift dessen Äquivalent Alif (ا).

Periodischer Dezimalbruch 0,999…

Die Zahl 1 besitzt neben der üblichen Schreibung auch die periodische Dezimalbruchdarstellung 0,999… beziehungsweise 0,\overline{9}. Dafür nennt der Artikel mehrere Begründungen.

Eine verbreitete Herleitung benutzt den bekannten Dezimalbruch 1/3 = 0,333…. Multipliziert man beide Seiten mit 3, erhält man 1 = 0,999…. Dabei muss man beachten, dass die Darstellung von 1/3 als 0,333… und der Übergang durch Multiplikation mit 3 selbst auf Eigenschaften von Grenzwerten beruhen.

Eine weitere Begründung nutzt die Anordnung der reellen Zahlen: Zwei reelle Zahlen sind nur verschieden, wenn zwischen ihnen noch eine reelle Zahl liegt. Zwischen 0,999… und 1 gibt es nach der Dezimalbruchentwicklung keine solche Zahl.

Als Grenzwert betrachtet ist 0,999… der Grenzwert der Folge 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; … . Das allgemeine Folgenglied ist a_n = 0,99…9 mit n Neunen. Die Differenz zwischen 1 und a_n beträgt 1/10^n. Für jedes noch so kleine ε > 0 findet man ein n, sodass 1/10^m < ε für alle m > n gilt. Daher ist der Grenzwert 1.

Auch über eine geometrische Reihe ergibt sich 0,\overline{9} = Σ_{n=1}^{∞} 9/10^n. Diese Reihe hat die Form Σ_{i=0}^{∞} a·q^i mit a = 9/10 und q = 1/10. Da |q| < 1 gilt, ist sie konvergent und hat den Wert a · 1/(1−q) = (9/10) · 1/(1−1/10) = 1. In anderen Stellenwertsystemen steht entsprechend die höchste Ziffer des Systems: Im Binärsystem ist 1 gleich 0,111…, im Hexadezimalsystem gleich 0,FFF… .

Bedeutung in Informatik und Naturwissenschaften

In der Informatik bildet die Eins zusammen mit der Null das Dualsystem oder Binärsystem. In der Maschinensprache steht 1 für „an“ beziehungsweise on. In Programmiersprachen entspricht sie bei booleschen Variablen oft wahr oder true, während 0 falsch oder false bedeutet.

In der Datenmodellierung, besonders im Entity-Relationship-Modell, beschreibt eine Zu-1-Beziehung die Eindeutigkeit einer Zuordnung. Das Beispiel aus dem Artikel lautet: Eine Entität „Kfz“ steht zur Entität „Besitzer“ in einer N-zu-1-Beziehung, weil ein Besitzer mehrere Kfz haben kann, jedes Kfz aber genau einen Besitzer haben muss.

In der Astronomie gibt es im Sonnensystem einen Stern, die Sonne. Der innerste und erste Planet ist Merkur, und die Erde besitzt einen natürlichen Satelliten, den Mond. Der Krebsnebel trägt im Messier-Katalog die Nummer M 1, und der Zwergplanet Ceres trägt die Nummerierung 1.

In der Chemie hat Wasserstoff die Ordnungszahl 1. Er ist das erste Element des Periodensystems und das häufigste Element im bekannten Universum. Die erste Hauptgruppe des Periodensystems umfasst Wasserstoff sowie die Alkalimetalle Lithium, Natrium, Kalium, Rubidium, Cäsium und das radioaktive Francium. Der Wortteil „Mono“ steht für eins, etwa in Kohlenstoffmonoxid. Einwertige Alkohole besitzen jeweils nur eine Hydroxygruppe; typische Vertreter sind Ethanol, Methanol und Isopropanol. Monomere sind molekulare Wiederholeinheiten, wobei der Begriff in Polymerchemie und Biochemie unterschiedlich verwendet wird.

In der Physik werden in natürlichen Einheitensystemen ausgewählte Konstanten auf 1 gesetzt, um Gleichungen zu vereinfachen. Zum Beispiel ist die Lichtgeschwindigkeit in Planck-Einheiten gleich 1. Die Masse eines Protons oder Neutrons beträgt ungefähr 1 u.

Sprache, Kalender und Kultur

Sprachlich erscheint die Eins in vielen Formen. Wörter für Einzigkeit können mit dem griechischen Präfix mono- beginnen, etwa Monokel oder Monografie. Andere gehen auf lateinische Formen zurück, etwa Singular oder Solo. Wörter für Einheitlichkeit können von lateinisch unus abgeleitet sein, zum Beispiel Union oder Uniform; auch Unikat und unifarben hängen mit dieser Bedeutung zusammen. In Redewendungen bezeichnet „Nummer Eins“ Personen, die in einem Bereich die Besten sind. „Eins zu eins“ bedeutet genaue Übereinstimmung oder ein gleiches Verhältnis zwischen zwei Seiten.

Bei Ordnungszahlen ist die 1 unregelmäßig: Statt einer einfachen Endung wie bei vielen anderen Zahlen heißt es „erster“. Auch Zusammensetzungen wie „hunderterster“ folgen dieser Form. Im Englischen haben first, second und third eigene Formen; die meisten anderen Ordnungszahlen enden auf -th. Bei Rang oder Abfolge wird außerdem der lateinische Stamm prim- verwendet, etwa in Primus oder Primzahl.

Im Kalender markiert die Eins Anfänge: Das Jahr 1 ist das erste Jahr der Zeitrechnung nach Jesus Christus, und der erste Tag des Jahres heißt Neujahr. Januar ist der erste Monat des Jahres, Montag der erste Wochentag. Angaben wie „Tag 1“, „Kapitel 1“ oder „Akt 1“ kennzeichnen den Beginn eines Prozesses oder Ereignisses. 1 Uhr kann 1:00 oder 13:00 bedeuten.

In Mythos und Religion steht die Eins häufig für Einheit. In monotheistischen Religionen gibt es einen Gott; genannt werden Judentum, Christentum, Islam, Sikhismus, Bahaitum, Jesidentum und Zoroastrismus. Nach christlicher, islamischer und jüdischer Lehre ist Adam der erste Mensch. Im Judentum drückt das Schᵉma Jisroel die Einheit Gottes aus: „Höre Israel! Adonai (ist) unser Gott; Adonai (ist) Eins“.

Gesellschaftlich und kulturell hat die Eins viele Verwendungen: In Deutschland und Österreich steht die Schulnote 1 für „sehr gut“, in der Schweiz dagegen für die schlechteste Note. In der Musik ist die Eins der erste, meist betonte Ton eines Taktes; ein Nummer-eins-Hit ist ein Lied oder Album, das mindestens eine Woche den ersten Rang einer Hitparade belegt. Viele Sportvereine tragen „1.“ im Namen, um Wichtigkeit oder Alter anzuzeigen. Weitere Beispiele sind Formel 1, das Kartenspiel Uno, der Penny als US-amerikanische 1-Cent-Münze, die Telefonvorwahl +1 für die Vereinigten Staaten und Kanada sowie der Widder als erstes Tierkreiszeichen.