Quadrant (Mathematik)

Definition und Einteilung

Ein Quadrant ist ein durch zwei Koordinatenachsen begrenzter Abschnitt einer Ebene. Der Begriff bezeichnet ein Viertel. Die Punkte auf den begrenzenden Achsen gehören in der Regel zu keinem Quadranten.

Im kartesischen Koordinatensystem liegt der I. Quadrant üblicherweise rechts oben. Die vier Quadranten werden entgegen dem Uhrzeigersinn mit I, II, III und IV oder mit 1, 2, 3 und 4 bezeichnet. Die Vorzeichen der Koordinaten sind dabei festgelegt:

• I. Quadrant: x positiv, y positiv
• II. Quadrant: x negativ, y positiv
• III. Quadrant: x negativ, y negativ
• IV. Quadrant: x positiv, y negativ

Ein Punkt im I. Quadranten besitzt somit zwei positive Koordinaten. Auch andere Einteilungen der Ebene sind gebräuchlich; die beschriebene Anordnung entspricht jedoch der üblichen Konvention.

Vorzeichen der Winkelfunktionen

In der Trigonometrie bestimmen die Quadranten, in denen sich ein Winkel α befindet, die Vorzeichen von Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens. Dabei werden Winkel von 0° bis 360° betrachtet; diese Winkelfunktionen haben 360°-Perioden.

• Im 1. Quadranten (0–90°) sind sin α, cos α, tan α und cot α positiv.
• Im 2. Quadranten (90–180°) ist sin α positiv, während cos α, tan α und cot α negativ sind.
• Im 3. Quadranten (180–270°) sind sin α und cos α negativ, tan α und cot α dagegen positiv.
• Im 4. Quadranten (270–360°) ist sin α negativ, cos α positiv, tan α und cot α negativ.

Jede der genannten trigonometrischen Winkelfunktionen besitzt in zwei Quadranten dasselbe Vorzeichen. Deshalb ist das Urbild eines Funktionswertes, also die Menge der möglichen Winkel zu diesem Wert, im Allgemeinen mehrdeutig. Aus sin α < 0 folgt beispielsweise, dass α im 3. oder im 4. Quadranten liegen kann. In Bogenmaß gilt dafür π < α < 2π; in Gradmaß entspricht dies 180° < α < 360°.

Grenzfälle und Anwendungen

Liegen Winkel genau auf den Koordinatenachsen, müssen die Achsen als Grenzen der Quadranten gesondert betrachtet werden. Die wichtigsten Werte in Bogenmaß sind:

• Auf der positiven x-Achse bei α = 0: sin α = 0, cos α = 1, tan α = 0; cot α wird als ±∞ angegeben.
• Auf der positiven y-Achse bei α = π/2: sin α = 1, cos α = 0, tan α = ±∞ und cot α = 0.
• Auf der negativen x-Achse bei α = π: sin α = 0, cos α = −1, tan α = 0; cot α wird als ±∞ angegeben.
• Auf der negativen y-Achse bei α = 3π/2: sin α = −1, cos α = 0, tan α = ±∞ und cot α = 0.

In den offenen Quadranten gelten die Intervalle (0, π/2), (π/2, π), (π, 3π/2) und (3π/2, 2π). Die Quadrantentabelle ist insbesondere in der Geodäsie und Navigation notwendig. Sie ermöglicht, aus den Koordinaten zweier Punkte die richtige Richtung zu bestimmen, beispielsweise das Azimut oder den Kurs. Auch ein Computerprogramm muss bei einer solchen Berechnung die Quadranten berücksichtigen.