Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundidee und Wahrscheinlichkeitsraum

Die Wahrscheinlichkeitstheorie (auch Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Probabilistik) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie formalisiert, modelliert und untersucht Zufallsgeschehen. Zusammen mit der mathematischen Statistik bildet sie die Stochastik: Die Statistik nutzt Beobachtungen zufälliger Vorgänge, um Aussagen über das zugrunde liegende Modell zu treffen. Zentrale Objekte sind Ereignisse, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse.

Ein Zufallsexperiment besitzt eine Ergebnismenge Ω, die alle möglichen Ergebnisse ω enthält. Ein Ereignis ist eine Teilmenge von Ω: Es beschreibt also nicht zwingend ein einzelnes Ergebnis, sondern kann mehrere Ergebnisse umfassen. Ein Elementarereignis enthält genau ein Ergebnis.

Nicht unbedingt jede Teilmenge muss als Ereignis zugelassen sein. Die betrachteten Ereignisse bilden deshalb einen Ereignisraum Σ, eine σ-Algebra über Ω. Sie enthält Ω und ist unter Komplementbildung sowie unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P ordnet jedem Ereignis aus Σ eine Zahl im Intervall [0,1] zu. Das Tripel (Ω,Σ,P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum. Die mathematische Theorie legt dabei nicht fest, wie Wahrscheinlichkeiten ermittelt oder philosophisch gedeutet werden; ihre Ergebnisse sind von solchen Interpretationen unabhängig.

Axiome und wichtige Folgerungen

Die von Andrei Kolmogorow in den 1930er Jahren entwickelte und 1933 publizierte Axiomatik verlangt für ein Wahrscheinlichkeitsmaß:

• Für jedes A∈Σ gilt 0≤P(A)≤1.
• Das sichere Ereignis hat Wahrscheinlichkeit P(Ω)=1.
• Für abzählbar viele paarweise disjunkte, also inkompatible Ereignisse Aᵢ gilt die σ-Additivität: P(A₁ ⊔ A₂ ⊔ ⋯)=∑P(Aᵢ).

Daraus folgen unter anderem die Gegenwahrscheinlichkeit P(Ω\A)=1-P(A), die Wahrscheinlichkeit P(∅)=0 für das unmögliche Ereignis und für nicht unbedingt disjunkte Ereignisse die Additionsregel P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). Der Schnitt A∩B wird abgezogen, weil er sonst doppelt gezählt würde.

Beim Münzwurf kann man Ω={Zahl,Kopf} und als Ereignisraum die Potenzmenge Σ={∅,{Zahl},{Kopf},Ω} wählen. Dann gilt stets P(∅)=0, P(Ω)=1 und P({Zahl})=1-P({Kopf}). Zusätzliche Annahmen über eine ideale Münze können zu P({Kopf})=P({Zahl})=0,5 führen.

Bei endlichen oder abzählbar unendlichen Ergebnismengen kann Σ die Potenzmenge von Ω sein; die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse summieren sich zu 1. Bei überabzählbaren Mengen wie den reellen Zahlen haben einzelne Punkte in vielen Modellen Wahrscheinlichkeit 0. Beim Dartwurf ist daher die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten flächenlosen Punkt null, während Teilflächen betrachtet werden. Häufig nutzt man die Borelsche σ-Algebra und bei absolut stetigem P eine Dichte f mit P(A)=∫ₐ f(x) dx. Die Dichtewerte selbst sind keine Wahrscheinlichkeiten.

Laplace-Experimente und bedingte Wahrscheinlichkeit

Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn es endlich viele gleich wahrscheinliche Elementarereignisse gibt. Für |Ω|=n hat jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit 1/n. Besteht ein Ereignis A aus |A|=m günstigen Ergebnissen, gilt deshalb P(A)=|A|/|Ω|. Beim idealen Würfel ist für H={5,6}: P(H)=2/6=1/3. Typische Laplace-Experimente sind auch das Ziehen einer Karte oder Kugel; die Kombinatorik hilft, mögliche Ergebnisse zu zählen.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) beschreibt die Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung, dass B bereits bekannt ist. Voraussetzung ist P(B)>0. Allgemein gilt P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Beim Skatblatt gibt es 8 Herz-Karten unter 32 Karten, also P(Herz)=8/32=1/4. Ist aber bekannt, dass die Karte rot ist, bleiben 16 Karten; dann gilt P(Herz|rot)=8/16=1/2.

Für das gleichzeitige Eintreten gilt die Verbundwahrscheinlichkeit P(A∩B)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B). Der Satz von Bayes schreibt die bedingte Wahrscheinlichkeit in umgekehrter Richtung: P(A|B)=[P(B|A)·P(A)]/P(B).

Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht beeinflusst. Mathematisch gilt dann P(A∩B)=P(A)·P(B). Bei P(B)>0 ist dies gleichbedeutend mit P(A|B)=P(A). Andernfalls heißen die Ereignisse abhängig.

Beim Ziehen einer Karte aus 32 Karten seien A: „Herz-Karte“ und B: „Bild-Karte“. Es gilt P(A)=8/32=1/4, P(B)=12/32=3/8 und P(A∩B)=3/32. Weil (1/4)·(3/8)=3/32 ist, sind diese Ereignisse unabhängig.

Maßtheorie, Zufallsvariablen und Bedeutung

Die maßtheoretische Sichtweise vereinheitlicht diskrete Räume und stetige Modelle mit Dichtefunktionen. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist dabei ein Maßraum: P:Σ→[0,1] ist ein Maß mit P(Ω)=1. Für abzählbares Ω gilt P(A)=∑_{ω∈A}P({ω}). Für eine Teilmenge von ℝⁿ mit Borelscher σ-Algebra und einer Dichte f gilt P(A)=∫ₐ f(x) dx; umgekehrt definiert jede nichtnegative messbare Funktion f mit ∫Ω f(x) dx=1 ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Produktmaße modellieren die unabhängige Hintereinanderausführung von Einzelexperimenten.

Eine Zufallsvariable X ist eine messbare Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum. Ihre Verteilung ist das Bildmaß Pₓ:=P∘X⁻¹ mit P∘X⁻¹(A')=P(X⁻¹(A')). Der Erwartungswert einer reellwertigen Zufallsvariable mittelt ihre möglichen Ergebnisse: E(X)=∫Ω X dP.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist Grundlage der Statistik, etwa für die Analyse von Umfragen und Wirtschaftsprognosen. Sie wird außerdem in Thermodynamik, Quantenmechanik, Zuverlässigkeits-, Erneuerungs- und Warteschlangentheorie sowie Mustererkennung verwendet. In der Schule beginnt sie ab Klasse 1 mit Grundbegriffen und einfachen Zufallsexperimenten; in der Sekundarstufe I werden komplexere Experimente und der Wahrscheinlichkeitsbegriff behandelt, in der Sekundarstufe II unter anderem Bernoulliketten, bedingte Wahrscheinlichkeit und Laplace-Experimente.