Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Grundidee und formale Definition

Ein Ereignis oder Zufallsereignis ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Teilmenge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments, der eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann. Es tritt ein, wenn das tatsächlich erzielte Ergebnis in dieser Teilmenge liegt. Beim Würfeln gehört etwa „eine gerade Zahl“ zur Menge {2,4,6}; der Ergebnisraum ist {1,2,3,4,5,6}.

Formal heißt in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P) jedes A ∈ Σ ein Ereignis. Σ ist die σ-Algebra, auch Ereignissystem genannt: Sie legt fest, welche Teilmengen von Ω überhaupt Wahrscheinlichkeiten P(A) erhalten. In der Maßtheorie heißen Ereignisse auch messbare Mengen.

Das sichere Ereignis ist Ω selbst und tritt immer ein. Das unmögliche Ereignis ist die leere Menge ∅ und tritt nie ein.

Ereignissysteme bei verschiedenen Ergebnisräumen

Bei Ω = {1,2,3} und Σ := {Ω, ∅, {1}, {2,3}} sind {1} und {2,3} Ereignisse, {2} jedoch nicht: Zwar ist {2} eine Teilmenge von Ω, gehört aber nicht zum Ereignissystem. Ω und ∅ sind in jeder σ-Algebra Ereignisse.

Für diskrete Ergebnisräume mit höchstens abzählbar unendlich vielen Elementen verwendet man meist die Potenzmenge P(Ω) als Ereignissystem. Dann ist jede Teilmenge von Ω ein Ereignis.

Bei reellen Ergebnisräumen wird meist die Borelsche σ-Algebra verwendet. Alle offenen Intervalle (a,b) mit a < b sind dann Ereignisse. Dieses System umfasst fast alles sinnvoll Definierbare, aber zum Beispiel Vitali-Mengen sind darin keine Ereignisse.

Verknüpfungen von Ereignissen

Gilt A ⊆ B, so zieht das Eintreten von A stets B nach sich; außerdem gilt P(A) ≤ P(B). A und B sind genau dann gleich, wenn A ⊆ B und B ⊆ A.

Der Schnitt A ∩ B tritt ein, wenn A und B beide eintreten. Haben sie keinen gemeinsamen Ausgang, also A ∩ B = ∅, heißen sie disjunkt oder unvereinbar. Für eine Folge A₁, A₂, … bedeutet ∩ₙ₌₁^∞ Aₙ, dass alle Ereignisse eintreten; paarweise disjunkt bedeutet Aₘ ∩ Aₙ = ∅ für m ≠ n.

Die Vereinigung A ∪ B tritt ein, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt, auch wenn beide eintreten. Es gilt P(A ∩ B) + P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Für disjunkte Ereignisse folgt P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Für unendlich viele Ereignisse gilt die σ-Subadditivität P(∪ₙ₌₁^∞ Aₙ) ≤ ∑ₙ₌₁^∞ P(Aₙ); bei paarweise disjunkten Ereignissen gilt Gleichheit. Für endliche Vereinigungen beliebiger Ereignisse gilt die Siebformel.

Gegenereignis, Differenz und genau eines

Das Komplement oder Gegenereignis von A ist Ω \ A, geschrieben Ā oder Aᶜ. Es tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt, und erfüllt P(Ā) = 1 − P(A).

Die de Morganschen Formeln lauten: Überline(∩ₙ₌₁^∞ Aₙ) = ∪ₙ₌₁^∞ Āₙ und Überline(∪ₙ₌₁^∞ Aₙ) = ∩ₙ₌₁^∞ Āₙ. Für zwei Ereignisse gilt insbesondere Überline(A ∩ B) = Ā ∪ B̄ sowie Überline(A ∪ B) = Ā ∩ B̄.

A \ B bedeutet: A tritt ein, B aber nicht gleichzeitig. Es gilt A \ B = A ∩ B̄ und P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B); bei B ⊆ A ist dies P(A) − P(B). Die symmetrische Differenz A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) tritt ein, wenn genau eines von A und B eintritt. Ihre Wahrscheinlichkeit ist P(A △ B) = P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B).

Unabhängigkeit und besondere Ereignisse

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Ist P(B) > 0, lässt sich dies auch als P(A) = P(A | B) schreiben: Das Wissen, dass B eingetreten ist, verändert die Wahrscheinlichkeit von A nicht.

Eine Familie (Aᵢ)ᵢ∈ᴵ heißt unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge J ⊆ I gilt: P(∩ⱼ∈ᴶ Aⱼ) = ∏ⱼ∈ᴶ P(Aⱼ). Paarweise Unabhängigkeit verlangt diese Produktregel nur für je zwei Ereignisse. Unabhängigkeit impliziert paarweise Unabhängigkeit, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Einelementige Ereignisse {ω} heißen mitunter Elementarereignisse. Ist Ω höchstens abzählbar, bestimmen p(ω) := P({ω}) mit P(A) = ∑ω∈A p(ω) alle Wahrscheinlichkeiten, sofern 0 ≤ p(ω) ≤ 1 und ∑ω∈Ω p(ω) = 1 gilt. Ergebnisse ω selbst werden teils ebenfalls Elementarereignisse genannt, sind dann aber keine Teilmengen und somit keine Ereignisse. Auch {ω} muss nicht zu Σ gehören.

Fast sicher bedeutet P(A) = 1, fast unmöglich P(A) = 0. Ein atomares Ereignis eines Ereignissystems kann nicht als Vereinigung zweier echter Ereignisteile dieses Systems zerlegt werden. Jedes enthaltene Elementarereignis ist atomar, aber nicht jedes atomare Ereignis ist ein Elementarereignis. Ein Atom eines Wahrscheinlichkeitsraums ist ein Ereignis A mit P(A) > 0, dessen Teilereignisse B ⊂ A entweder Wahrscheinlichkeit 0 oder dieselbe Wahrscheinlichkeit wie A haben. Ein Raum ohne Atome heißt atomlos; solche Räume lassen reelle Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion zu, insbesondere eine stetige Gleichverteilung auf (0,1).

Bedeutung in der Wirtschaft

Im Finanzsektor richtet sich der Blick besonders auf den Worst Case, also auf negative Ereignisse. Ein Kreditereignis liegt im Bankwesen vor, wenn ein Kreditnehmer oder Anleiheschuldner seinen Schuldendienst nicht, nicht vollständig oder verspätet leistet, oder wenn eine Restrukturierung oder Umschuldung stattfindet. Die planmäßige Bedienung und Rückzahlung eines Kredits oder einer Anleihe verringert Kreditrisiko und stabilisiert die Ertragslage von Kreditgebern oder Gläubigern.

Ein Schadensereignis ist im Versicherungswesen ein Ereignis, durch das beim Versicherungsnehmer oder einem Dritten unmittelbar ein Personen-, Sach- oder Vermögensschaden entsteht. Es umfasst in der Sach- oder Schadenversicherung einen Versicherungsschaden und in der Lebensversicherung den Tod der versicherten Person. Bleibt ein Versicherungsfall aus, sinkt das Finanzrisiko und die Ertragslage des Versicherers wird stabilisiert.

Das Kreditereignis kann durch die Ausfallwahrscheinlichkeit gemessen werden. Nach § 7 Nr. 36 VAG ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilungsprognose eine mathematische Funktion, die einer ausreichenden Zeitreihe einander ausschließender zukünftiger Ereignisse eine Eintrittswahrscheinlichkeit zuweist.