Wahrscheinlichkeit

Grundidee und klassische Definition

Wahrscheinlichkeit ist ein allgemeines Maß der Erwartung für ein unsicheres Ereignis. Sie dient dazu, Vorhersagen über zukünftige Ereignisse zu machen und bereits eingetretene Ereignisse danach zu beurteilen, wie gewöhnlich oder ungewöhnlich sie sind. In der Mathematik behandelt die Wahrscheinlichkeitstheorie solche Fragen; sie begann mit Untersuchungen zu Glücksspielen und wird heute in vielen Lebensbereichen verwendet.

Nach Laplace ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Zufallsexperiment ein bestimmtes Ereignis eintritt, das Zahlenverhältnis der Anzahl der günstigen Ergebnisse zur Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Diese klassische Wahrscheinlichkeit unterscheidet sich von der Chance: Chance ist der Quotient aus der Anzahl der günstigen Ergebnisse und der Anzahl der ungünstigen Ergebnisse.

Beim idealen, fairen Würfel hat wegen der Symmetrie jede der sechs Seiten dieselbe A-priori-Wahrscheinlichkeit, also dieselbe Wahrscheinlichkeit vor dem Versuch. Die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl zu würfeln, beträgt 3/6 = 0,5, weil es drei günstige Ergebnisse gibt, nämlich 1, 3 und 5, bei insgesamt sechs möglichen Ergebnissen. Diese klassische Definition wurde von Christiaan Huygens und Jakob I Bernoulli entwickelt und von Laplace formuliert. Sie setzt voraus, dass die Elementarereignisse gleiche A-priori-Eintrittswahrscheinlichkeiten besitzen.

Objektive Auffassungen

Beim Häufigkeitsprinzip wird ein Versuch sehr oft wiederholt. Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der Elementarereignisse. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Grenzwert, dem die relative Häufigkeit bei unendlich vielen Wiederholungen zustrebt. Diese Auffassung heißt Limes-Definition nach von Mises oder frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff. Wichtig sind die beliebige Wiederholbarkeit des Experiments und die Unabhängigkeit der einzelnen Durchgänge. Das Gesetz der großen Zahlen spielt dabei eine zentrale Rolle.

Ein Beispiel ist ein Würfel, der 1000-mal geworfen wird: Die 1 fällt 100-mal, also mit relativer Häufigkeit 10 %, die 2 und 3 jeweils 150-mal, also 15 %, die 4 in 20 %, die 5 in 30 % und die 6 in 10 % der Fälle. Wenn sich diese Werte nach 10.000 Versuchen stabilisieren, kann man mit einiger Sicherheit sagen, dass zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für eine 3 bei 15 % liegt. Dann liegt der Verdacht nahe, dass der Würfel nicht fair ist.

Die Propensitätstheorie versteht Wahrscheinlichkeit als Maß für die Neigung eines Prozesses zu einem bestimmten Ergebnis. In der Physik betrifft das zum Beispiel die Zerfallswahrscheinlichkeit eines Radionuklids. Die einzelnen, voneinander unabhängigen Zerfälle der Atomkerne gelten dabei als Experimente; für jeden Atomkern nimmt man eine charakteristische Neigung zum Zerfall an, unabhängig von seinem Alter und von Nachbarkernen.

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik beschreibt die Wellenfunktion ein Teilchen fundamental. Das Integral des Betragsquadrates der Wellenfunktion über ein Raumgebiet entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Teilchen dort anzutreffen. Diese Wahrscheinlichkeit ist nicht bloß statistisch, sondern nicht-determiniert.

Subjektive Auffassung und Axiome

In der subjektivistischen Wahrscheinlichkeitsauffassung sind Wahrscheinlichkeiten Grade des Vertrauens in eine ungewisse Sache. Sie sind beste Schätzungen und haben den Charakter von Hypothesen. Auch für einmalige Zufallsereignisse kann man eine Eintrittswahrscheinlichkeit schätzen. Dabei spielen Expertenwissen, Erfahrung und Intuition eine zentrale Rolle. Dieser Ansatz steht in Beziehung zum bayesschen Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Ein Beispiel: Eine Person hat verschiedene Autos besessen und schätzt die Wahrscheinlichkeit hoch ein, etwa mit der Aussage „Ich bin mir zu 80 % sicher“, dass sie mit der Marke XY beim nächsten Autokauf wieder zufrieden sein wird. Neue Informationen, etwa ein Testbericht, können diese Einschätzung nach oben oder unten verändern.

Subjektive Einschätzungen können fehleranfällig sein. Risiken wie ein Unfall wegen erhöhter Geschwindigkeit werden tendenziell niedriger eingeschätzt, Chancen wie ein Lottogewinn dagegen höher als ihre tatsächliche Wahrscheinlichkeit. Auch asymmetrische Informationen beeinflussen Urteile: Die subjektive Einschätzung von Unfallgefahren folgt oft eher der Häufigkeit in Medienberichten als der tatsächlichen Statistik. A-priori-Wahrscheinlichkeiten können bei wiederholten Experimenten mithilfe der Bayes-Formel zu A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten werden, die bessere Schätzungen ermöglichen; das wird als „Lernen aus Erfahrung“ beschrieben.

Für die Mathematik ist heute die axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorow maßgebend. Axiomatisch bedeutet, dass die Definition auf grundlegenden Regeln, den Axiomen, beruht.

Stochastik und Wertebereich

Stochastik ist die Mathematik des Zufalls oder die Mathematik der Daten und des Zufalls. Sie ist ein Teilgebiet der Mathematik und umfasst als Oberbegriff die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Mathematische Statistik.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Wahrscheinlichkeitstheorie stellt Begriffe bereit, mit denen Vorgänge mathematisch modelliert werden können, in denen zufällige Ereignisse auftreten. Die Mathematische Statistik liefert darauf aufbauend Verfahren, um aus Beobachtungsdaten Modellparameter zu bestimmen und Aussagen darüber zu machen, ob eine Modellierung angemessen ist.

Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen zwischen 0 und 1; auch 0 und 1 sind zulässig. Ein unmögliches Ereignis erhält die Wahrscheinlichkeit 0, ein sicheres Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1. Die Umkehrung gilt jedoch nur, wenn die Anzahl aller Ereignisse höchstens abzählbar unendlich ist. In überabzählbar unendlichen Wahrscheinlichkeitsräumen kann ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0 trotzdem eintreten; es heißt dann fast unmöglich. Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1 muss dort nicht eintreten; es heißt dann fast sicher.

Als Beispiel werden Lottowahrscheinlichkeiten genannt: Bei 0 Richtigen beträgt die Wahrscheinlichkeit 43,5965 %, bei 1 Richtigen 41,30195 %, bei 2 Richtigen 13,2378 %, bei 3 Richtigen 1,76504 %, bei 4 Richtigen 0,09686 %, bei 5 Richtigen 0,00184 % und bei 6 Richtigen 0,00001 %.

Einschätzen von Wahrscheinlichkeiten

In der Psychologie wird darauf hingewiesen, dass Menschen Wahrscheinlichkeiten oft schlecht einschätzen. In diesem Zusammenhang wird auch vom „Wahrscheinlichkeitsidioten“ gesprochen, verbunden mit dem Begriff Zahlenanalphabetismus.

Ein Beispiel ist das Geburtstagsparadoxon: Auf einem Fußballspielfeld befinden sich 23 Personen, nämlich zweimal elf Spieler und ein Schiedsrichter. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, ist größer als 50 %. Das wirkt paradox, weil viele Menschen wegen der 365 Tage eines Jahres spontan eine deutlich größere Gruppe erwarten würden.

Ein weiteres Beispiel betrifft positive Befunde bei Vorsorgeuntersuchungen. Mit den Rechenmethoden der bedingten Wahrscheinlichkeit kann man abschätzen, wie groß das tatsächliche Risiko ist, dass eine durch den Test gestellte Diagnose stimmt. Besonders wichtig sind dafür die Zuverlässigkeit des Tests, also Sensitivität und Spezifität, sowie die beobachtete Grundhäufigkeit der Krankheit in der Gesamtbevölkerung. Die Darstellung absoluter Häufigkeiten in einem vollständigen Entscheidungsbaum und ein Beratungsgespräch mit dem Arzt können verständlicher sein als die bloße Interpretation von Prozentzahlen aus einem isolierten Testergebnis.

Der Artikel weist darauf hin, dass dieser Abschnitt nicht hinreichend mit Belegen ausgestattet ist.

Philosophische Deutungen

Philosophisch ist nicht nur wichtig, wie man mit Wahrscheinlichkeiten rechnet, sondern auch, worauf die mathematischen Regeln angewendet werden dürfen. Über den mathematischen Umgang besteht weitgehend Einigkeit, über die Interpretation des Begriffs „Wahrscheinlichkeit“ jedoch nicht.

Aleatorische Wahrscheinlichkeit, auch ontische, objektive oder statistische Wahrscheinlichkeit genannt, beschreibt die relative Häufigkeit zukünftiger Ereignisse, die von einem zufälligen physikalischen Prozess bestimmt werden. Dabei unterscheidet man deterministische physikalische Prozesse, die mit ausreichend genauer Information im Prinzip vorhersagbar wären, etwa Würfelwurf oder Wettervorhersage, und nichtdeterministische Prozesse, die prinzipiell nicht vorhersagbar sind, etwa radioaktiver Zerfall.

Epistemische Wahrscheinlichkeit, auch subjektive oder personelle Wahrscheinlichkeit genannt, beschreibt Unsicherheit über Aussagen, bei denen kausale Zusammenhänge und Hintergründe nur unvollständig bekannt sind. Solche Aussagen können vergangene oder zukünftige Ereignisse betreffen. Beispiele sind Wahrscheinlichkeitsaussagen in Politik, Wirtschaft oder Rechtsprechung, etwa „Die Steuersenkung kommt mit 60 % Wahrscheinlichkeit.“

Aleatorische und epistemische Wahrscheinlichkeit sind lose mit dem frequentistischen und dem bayesschen Wahrscheinlichkeitsbegriff verbunden. Offen bleibt, ob aleatorische Wahrscheinlichkeit auf epistemische Wahrscheinlichkeit reduziert werden kann oder umgekehrt. Die Frage lautet: Erscheint die Welt zufällig, weil wir nicht genug wissen, oder gibt es fundamental zufällige Prozesse, wie es etwa die Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik annimmt? Beide Sichtweisen verwenden dieselben mathematischen Regeln, führen aber zu unterschiedlichen Einschätzungen darüber, welche mathematischen Modelle gültig sind.