Maß (Mathematik)

Grundidee und Definition

Ein Maß ordnet geeigneten Teilmengen einer nicht-leeren Grundmenge \Omega eine Größe zu, etwa Länge, Fläche, Volumen oder Wahrscheinlichkeit. Es nimmt nur Werte in [0,\infty] an: Negative Größen sind nicht möglich, unendliche Werte dagegen schon.

Sei \mathcal A eine σ-Algebra auf \Omega. Eine σ-Algebra ist ein Mengensystem, das \Omega enthält und unter Komplementbildung sowie abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist. Ihre Elemente heißen messbare Mengen. Eine Funktion \mu:\mathcal A\to[0,\infty] heißt Maß, wenn \mu(\emptyset)=0 gilt und sie σ-additiv ist:

\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)

für jede Folge paarweise disjunkter messbarer Mengen (A_n)_{n\in\mathbb N}. Paarweise disjunkt bedeutet, dass je zwei dieser Mengen keine gemeinsamen Elemente haben. Der Maßraum ist das Tripel (\Omega,\mathcal A,\mu), der Messraum das Paar (\Omega,\mathcal A).

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß oder normiertes Maß erfüllt zusätzlich \mu(\Omega)=1. Ein Maß heißt endlich, wenn \mu(\Omega)<\infty, und σ-endlich, wenn \Omega als abzählbare Vereinigung von Mengen endlichen Maßes dargestellt werden kann.

Beispiele und elementare Regeln

Das Nullmaß ordnet jeder messbaren Menge den Wert 0 zu. Ein weiteres mögliches Maß ist \mu(\emptyset)=0 und \mu(A)=\infty für jede nichtleere messbare Menge A.

Das Diracmaß an x\in\Omega ist definiert durch

\delta_x(A)=\begin{cases}1,&x\in A,\\0,&\text{sonst}.\end{cases}

Es ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Das Zählmaß ordnet einer endlichen Menge ihre Anzahl |A| zu und jeder unendlichen Menge den Wert \infty. Es ist endlich, wenn \Omega endlich ist, und σ-endlich, wenn \Omega höchstens abzählbar ist.

Das d-dimensionale Lebesgue-Maß \lambda misst auf \mathbb R^d Volumen. Für Hyperrechtecke gilt

\lambda([a_1,b_1]\times\dotsb\times[a_d,b_d])=(b_1-a_1)\dotsm(b_d-a_d).

Es ist σ-endlich, aber nicht endlich. Das Hausdorff-Maß verallgemeinert das Lebesgue-Maß auf nicht notwendig ganzzahlige Dimensionen; damit kann die Hausdorff-Dimension etwa fraktaler Mengen definiert werden.

Aus der σ-Additivität folgen wichtige Regeln: Für endlich viele paarweise disjunkte Mengen gilt endliche Additivität. Aus B\subseteq A folgt Monotonie, also \mu(B)\leq\mu(A). Falls zusätzlich \mu(B)<\infty, gilt \mu(A\setminus B)=\mu(A)-\mu(B). Außerdem gilt \mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)=\mu(A)+\mu(B) sowie die σ-Subadditivität \mu(\bigcup_n A_n)\leq\sum_n\mu(A_n). Für aufsteigende Mengenfolgen ist das Maß des Grenzwerts die Grenze der Maße; für absteigende Folgen gilt dies ebenfalls, sofern \mu(A_1)<\infty.

Konstruktion und Veränderung von Maßen

Der Maßerweiterungssatz von Carathéodory erweitert jedes nicht-negative σ-additive Prämaß auf einem Mengenring zu einem Maß auf der davon erzeugten σ-Algebra. Ist das Prämaß σ-endlich, ist die Erweiterung eindeutig. So wird der Jordan-Inhalt endlicher Vereinigungen achsenparalleler Intervalle in \mathbb R^d zum Lebesgue-Borel-Maß fortgesetzt.

Eine Nullmenge ist eine messbare Menge A mit \mu(A)=0. Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge messbar ist. Die Vervollständigung des Lebesgue-Borel-Maßes ist das Lebesgue-Maß auf den Lebesgue-messbaren Teilmengen von \mathbb R^d.

Auf \mathbb R ordnet das Lebesgue-Maß dem Intervall (a,b] die Länge b-a zu. Ist F:\mathbb R\to\mathbb R monoton wachsend und rechtsseitig stetig, liefert F(b)-F(a) ein Lebesgue-Stieltjes-Maß \lambda_F. Bei F(x)=x entsteht wieder das Lebesgue-Maß; eine stückweise konstante Treppenfunktion führt zu Linearkombinationen von Diracmaßen. Erfüllt F außerdem \lim_{x\to-\infty}F(x)=0 und \lim_{x\to+\infty}F(x)=1, ist \lambda_F ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit Verteilungsfunktion F(x)=\lambda_F(( -\infty,x]).

Ein Maß kann auf eine messbare Teilmenge X\subseteq\Omega eingeschränkt werden. Die passende σ-Algebra ist \mathcal A|_X=\{A\cap X\mid A\in\mathcal A\}. Die Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf [0,1] ist die stetige Gleichverteilung.

Ist T:\Omega\to\Omega' messbar, so ist \mu'(A')=\mu(T^{-1}(A')) das Bildmaß \mu\circ T^{-1}. Bildmaße von Wahrscheinlichkeitsmaßen sind wieder Wahrscheinlichkeitsmaße. Eine Dichte f\geq0 erzeugt durch \nu(A)=\int_A f\,\mathrm d\mu ein neues Maß; man schreibt f=\frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\mu}. Bei σ-endlichem \mu ist eine solche Darstellung genau dann möglich, wenn jede \mu-Nullmenge auch \nu-Nullmenge ist.

Für σ-endliche Maße gibt es genau ein Produktmaß \mu_1\otimes\mu_2 mit (\mu_1\otimes\mu_2)(A_1\times A_2)=\mu_1(A_1)\mu_2(A_2). Der Satz von Fubini erlaubt oft, Integrale über Produktmaße als schrittweise eindimensionale Integrationen zu berechnen.

Topologische Maße und Konvergenz

In einem Hausdorff-Raum mit Topologie \mathfrak T ist die borelsche σ-Algebra \mathcal B(\Omega)=\sigma(\mathfrak T) die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Ein Borelmaß ist ein lokal endliches Maß auf dieser σ-Algebra: Jeder Punkt besitzt eine offene Umgebung endlichen Maßes.

Ein Radonmaß ist ein Borelmaß, das von innen regulär ist: \mu(A)=\sup\{\mu(K)\mid K\subset A,\ K\text{ kompakt}\}. Bei äußerer Regularität gilt zusätzlich \mu(A)=\inf\{\mu(U)\mid A\subset U,\ U\text{ offen}\}; dann heißt es reguläres Borelmaß. Auf lokalkompakten Hausdorff-Räumen mit abzählbarer Basis sowie auf polnischen Räumen ist jedes Borelmaß regulär.

Das Haarsche Maß verallgemeinert die Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes auf lokalkompakte Hausdorff-Gruppen. Es ist linksinvariant, existiert stets und ist bis auf einen konstanten Faktor eindeutig. Es ist genau dann endlich, wenn die Gruppe kompakt ist.

Eine Folge endlicher Maße \mu_n auf einem metrischen Raum konvergiert schwach gegen \mu, geschrieben \mu_n\xrightarrow w\mu, wenn für alle beschränkten stetigen Funktionen f gilt: \lim_{n\to\infty}\int f\,\mathrm d\mu_n=\int f\,\mathrm d\mu. Äquivalent ist unter anderem die Konvergenz \mu_n(A)\to\mu(A) für alle Borelmengen A mit \mu(\partial A)=0. Nach dem Satz von Prochorow ist eine Menge endlicher Maße auf einem polnischen Raum genau dann relativ folgenkompakt, wenn sie beschränkt und straff ist.

Integration und Wahrscheinlichkeitsanwendungen

Die maßtheoretische Integration beginnt mit \int_\Omega\chi_A\,\mathrm d\mu=\mu(A), wobei \chi_A die Indikatorfunktion von A ist. Über einfache Funktionen wird das Integral auf nicht-negative messbare und danach auf reell- oder komplexwertige Funktionen erweitert. Eine Funktion ist \mu-integrierbar, wenn \int_\Omega|f|\,\mathrm d\mu<\infty gilt. Das Lebesgue-Integral lässt sich auf beliebigen Maßräumen verwenden; in der Stochastik ist das Integral einer Zufallsvariable ihr Erwartungswert.

Funktionen, für die |f|^p integrierbar ist, bilden die L^p-Räume mit \|f\|_p=(\int_\Omega|f|^p\,\mathrm d\mu)^{1/p}. Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, werden dabei gleichgesetzt. Für p\geq1 sind diese Räume vollständig, also Banachräume; L^2 ist ein Hilbertraum.

Ein Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\Sigma,P) beschreibt ein Zufallsexperiment; P(\Omega)=1, und Ereignisse aus \Sigma erhalten Werte zwischen 0 und 1. Bei einem endlichen Ergebnisraum beschreibt P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} die Gleichverteilung von Laplace-Experimenten. Zufallsvariablen erzeugen als Bildmaße ihre Verteilungen. Genannt werden Binomial-, Poisson-, geometrische, hypergeometrische, Normal-, stetige Gleich- und Gammaverteilung sowie das Wiener-Maß für den Wiener-Prozess.

In der Statistik enthält ein Modell (\mathcal X,\mathcal F,P_\vartheta:\vartheta\in\Theta) eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen. Beobachtungen sollen Rückschlüsse auf \vartheta und damit auf P_\vartheta ermöglichen, etwa mit Punktschätzern, Konfidenzbereichen oder Tests. Die bayessche Statistik bestimmt aus einer A-priori- und Beobachtungsinformation eine A-posteriori-Verteilung.

In der Finanzmathematik werden faire Preise von Derivaten als Erwartungswerte abgezinster Auszahlungen bezüglich risikoneutraler Maße berechnet. Äquivalente Martingalmaße besitzen gegenüber dem realen Maß eine positive Dichte; der abgezinste Preisprozess ist dabei ein Martingal oder lokales Martingal.

Verallgemeinerungen

Ein positives σ-additives Maß ist der hier definierte Standardfall. Ein Inhalt ist nur endlich additiv; ein σ-additiver Inhalt heißt Prämaß. Äußere Maße sind monotone und σ-subadditive Mengenfunktionen und dienen bei der Carathéodory-Konstruktion als Zwischenstufe zwischen Prämaß und Maß.

Signierte Maße dürfen negative Werte annehmen, komplexe Maße komplexe Werte. Bei komplexen Maßen ist \infty nicht erlaubt; daher kann nur ein endliches positives Maß zugleich als komplexes Maß betrachtet werden. Signierte und komplexe Maße bilden einen Vektorraum und lassen sich nach dem Zerlegungssatz von Hahn und Jordan als Linearkombinationen positiver Maße darstellen.

Endlich additive Maße verlangen nur endliche statt σ-Additivität und dürfen ebenfalls negative Werte haben. Ihre genaue Definition ist in der Literatur nicht einheitlich, etwa hinsichtlich Wertebereich und Beschränktheit.

Vektorielle Maße nehmen Werte in Banachräumen an. Spektralmaße haben Werte als orthogonale Projektionen eines Hilbertraums und werden im Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren verwendet. Zufällige Maße sind Zufallsvariablen mit Maßen als Werten; zufällige Zählmaße können beispielsweise Sprungverteilungen von Lévy-Prozessen darstellen.