Würfel (Geometrie)

Grundform und wichtige Größen

Ein Würfel, auch regelmäßiges Hexaeder oder Kubus, ist ein dreidimensionales Polyeder und einer der fünf platonischen Körper. Er besitzt 6 kongruente quadratische Seitenflächen, 12 gleich lange Kanten und 8 Ecken; an jeder Ecke treffen 3 Flächen zusammen. Sein Schläfli-Symbol ist {4,3}. Er ist zugleich ein gleichseitiger Quader und ein gerades quadratisches Prisma. Eine einzige Größe, etwa die Kantenlänge a, legt alle übrigen Größen fest.

Für die Kantenlänge a gelten: Volumen V=a³, Mantelfläche A_M=4·a² und Oberflächeninhalt A_O=6·a². Die Flächendiagonale ist d_F=a·√2≈1,414·a, die Raumdiagonale d_R=a·√3≈1,732·a. Der Radius der Inkugel beträgt r_i=a/2=0,5·a, der Kantenkugelradius r_k=(a/2)·√2≈0,707·a und der Umkugelradius r_u=(a/2)·√3≈0,866·a. Benachbarte Flächen und Kanten stehen jeweils im Winkel 90° zueinander. Das Verhältnis von Würfelvolumen zu Umkugelvolumen ist V/V_UK=2·√3/(3·π)≈0,368; die Sphärizität ist Ψ=∛(π/6)≈0,806.

Symmetrie, Ecken und verwandte Körper

Der Würfel ist regulär: Alle Ecken, Kanten und Flächen sind gleichartig. Er hat 3 vierzählige Drehachsen C₄ durch gegenüberliegende Flächenmittelpunkte, 4 dreizählige Achsen C₃ durch diagonal gegenüberliegende Ecken und 6 zweizählige Achsen C₂ durch Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten. Hinzu kommen 9 Spiegelebenen, 14 Drehspiegelungen und Punktsymmetrie zum Mittelpunkt M. Die Symmetriegruppe hat 48 Elemente; sie heißt O_h nach Schoenflies beziehungsweise 4/m 3̅ 2/m nach Hermann/Mauguin.

Der Raumwinkel an einer Würfelecke beträgt Ω=π/2 sr≈1,570796327 sr. Begründung: Drei Koordinatenebenen teilen den Raum in 8 Oktanten; von dem Vollwinkel 4π entfällt auf einen Würfel 4π/8.

Der Würfel ist dual zum Oktaeder: Die Mittelpunkte seiner Quadratflächen sind die Ecken eines Oktaeders. Seine Eckpunkte bilden außerdem zwei punktsymmetrische reguläre Tetraeder, zusammen ein Sterntetraeder. Aus Würfel und Oktaeder lassen sich unter anderem Hexaederstumpf, Kuboktaeder, Oktaederstumpf und als konvexe Hülle beider das Rhombendodekaeder gewinnen.

Koordinatendarstellung und Hyperwürfel

Liegt der Würfel mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung und parallel zu den Achsen, besteht er aus allen Punkten x∈ℝ³ mit ‖x‖∞≤r_i, also max_{i=1,2,3}|x_i|≤r_i. Die Maximums- oder Unendlich-Norm ‖x‖∞ ist dabei der größte Betrag einer Koordinate. Für das Innere gilt ‖x‖∞<r_i, für die Oberfläche ‖x‖∞=r_i. In beliebiger Lage kann man den Mittelpunktvektor m und drei orthogonale Richtungsvektoren u, v, w zu den Flächenmittelpunkten verwenden.

In n Dimensionen heißt die Verallgemeinerung n-dimensionaler Würfel oder Hyperwürfel. Er hat 2^(n-k)·C(n,k) begrenzende Seiten der Dimension k. Insbesondere besitzt er 2^n Ecken, n·2^(n-1) Kanten, n·(n-1)·2^(n-3) quadratische Flächen und 2·n Facetten der Dimension n−1. Der vierdimensionale Tesserakt hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Seitenquadrate und 8 Seitenwürfel. Der Einheitswürfel I^n ist [0,1]×…×[0,1], also die Menge aller (x_1,…,x_n) mit 0≤x_i≤1; er ist auch die konvexe Hülle seiner 2^n Eckpunkte mit Koordinaten 0 und 1.

Netze, Graphen und Schnittflächen

Es gibt 11 verschiedene Würfelnetze. Beim Aufklappen werden 7 Kanten aufgeschnitten; die übrigen 5 Kanten halten die 6 Quadrate des Netzes zusammen. Die Netze sind Hexominos. Für eine Flächenfärbung, bei der benachbarte Flächen verschieden gefärbt sind, werden mindestens 3 Farben benötigt.

Der Würfelgraph ist ein ungerichteter planarer, 3-regulärer Graph mit 8 Knoten, 12 Kanten und 6 Gebieten. Seine Knoten entsprechen den Würfelecken. Er ist mit 2 Knotenfarben alternierend färbbar; seine chromatische Zahl ist daher 2. Für seine Kantenfärbung sind 3 Farben nötig, der chromatische Index ist 3. Der duale Oktaedergraph besitzt 6 Knoten, 12 Kanten und 8 Gebiete; seine chromatische Zahl ist 3 und erklärt die erforderlichen 3 Flächenfarben des Würfels. Die 7 aufgeschnittenen Kanten eines Netzes bilden einen Spannbaum des Würfelgraphen. Der Würfelgraph besitzt 12 Hamiltonkreise, aber keine Eulerkreise.

Ein ebener Schnitt durch einen Würfel kann ein Dreieck, Viereck, unregelmäßiges Fünfeck oder Sechseck erzeugen. Möglich sind auch ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat und ein regelmäßiges Sechseck. Ein regelmäßiges Fünfeck ist nicht möglich, weil jeweils zwei Würfelflächen parallel sind.

Gitter, Verdoppelung und Raumfüllungen

Das Würfelgitter besteht aus allen Punkten (x_1,x_2,x_3)∈ℝ³, deren drei Koordinaten ganze Zahlen sind. Es besitzt die Symmetrien der Würfel- beziehungsweise Oktaedergruppe sowie Translationen parallel zu den Koordinatenachsen um ganzzahlige Längen. In der Kristallographie entspricht es dem kubischen Kristallsystem. Parallele Ebenen im Abstand 1 erzeugen ein kubisches Flächengitter; eine vollständige Zerlegung des Raums ergibt eine Raumfüllung aus kongruenten Würfeln.

Der Würfel ist der einzige platonische Körper, der allein in Form kongruenter Polyeder den dreidimensionalen euklidischen Raum lückenlos füllen kann. Verwandte Raumfüllungen bestehen nur aus Oktaederstümpfen beziehungsweise Rhombendodekaedern. Setzt man auf die Flächen jedes Würfels einer alternierenden halben Würfelfüllung quadratische Pyramiden mit Grundseitenlänge a und Höhe a/2, entstehen Rhombendodekaeder mit Kantenlänge (a/2)·√3 und Volumen 2·a³. Aus jedem vierten Würfel in alternierenden Reihen entstehen Oktaederstümpfe mit Kantenlänge (a/2)·√2 und Volumen 4·a³.

Die Würfelverdoppelung (Delisches Problem) verlangt zu einem Würfel einen Würfel mit doppeltem Volumen. Sie wurde im 5. Jahrhundert v. Chr. im antiken Griechenland formuliert. Mit Zirkel und unmarkiertem Lineal ist sie nicht lösbar; Pierre Wantzel bewies dies 1837. Mit zusätzlichen Hilfsmitteln, etwa einem markierten Lineal oder speziellen Kurven, ist eine Konstruktion möglich.