Oktaeder

Grundform und Symmetrie

Das regelmäßige Oktaeder ist ein platonischer Körper, also ein regelmäßiges Polyeder (Vielflächner). Es hat 8 kongruente gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen, 12 gleich lange Kanten und 6 Ecken. In jeder Ecke treffen vier Seitenflächen zusammen. Sein Schläfli-Symbol ist {3,4}; es ist dual zum Hexaeder (Würfel). Es kann als gleichseitige vierseitige Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche oder als gleichseitiges Antiprisma mit gleichseitigem Dreieck als Grundfläche angesehen werden.

„Oktaeder“ kann allgemein jeden Achtflächner bezeichnen, etwa eine Siebeneck-Pyramide, ein Sechseckprisma, einen Tetraederstumpf oder eine Viereck-Doppelpyramide. Im allgemeinen Sprachgebrauch ist damit jedoch das regelmäßige Oktaeder gemeint: Bei einer Viereck-Doppelpyramide muss dafür das Viereck ein Quadrat sein und alle Kanten gleich lang sein.

Alle Ecken, Kanten und Flächen des regelmäßigen Oktaeders sind gleichartig. Es besitzt 3 vierzählige Drehachsen C₄ durch gegenüberliegende Ecken, 4 dreizählige Drehachsen C₃ durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen und 6 zweizählige Drehachsen C₂ durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten. Hinzu kommen 9 Symmetrieebenen, 14 Drehspiegelungen sowie Punktsymmetrie zum Mittelpunkt. Seine Symmetriegruppe, die Oktaeder- oder Würfelgruppe, hat 48 Elemente.

Maße, Winkel und Koordinaten

Für ein Oktaeder mit Kantenlänge a gelten:

• Oberfläche: A_O = 2√3 · a² ≈ 3,464 · a².
• Volumen: V = (√2/3) · a³ ≈ 0,471 · a³.
• Umkugelradius: r_u = a/√2 ≈ 0,707 · a.
• Kantenkugelradius: r_k = a/2 = 0,5 · a.
• Inkugelradius: r_i = a/√6 ≈ 0,408 · a.
• Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen: V/V_UK = 1/π ≈ 0,318.
• Sphärizität: Ψ = ³√(π/(3√3)) ≈ 0,846.

Das Oktaeder besteht aus zwei quadratischen Pyramiden. Mit dem Satz von Pythagoras erhält man für deren Höhe h = a/√2. Da die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks A₃ = (√3/4) · a² beträgt, ist die gesamte Oberfläche die Summe von 8 solchen Dreiecken. Das Volumen ist die Summe der Volumina der beiden quadratischen Pyramiden.

Der Winkel zwischen Grundfläche und Seitenfläche ist γ = arctan √2 ≈ 54,73°. Der Winkel zwischen zwei benachbarten Flächen ist β = 2γ = 2 arctan √2 ≈ 109,47°.

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung und liegen sämtliche Ecken auf Koordinatenachsen, sind die Eckpunkte (0,0,±a/√2), (0,±a/√2,0) und (±a/√2,0,0).

Raumwinkel und Punktmenge

Der Raumwinkel Ω einer Ecke ist der Flächeninhalt des zugehörigen sphärischen Vierecks auf der Einheitskugel. Aus einem sphärischen Dreieck der oberen Pyramidenhälfte folgt A₃ = 4γ − π. Daher gilt

Ω = 2A₃ = 8γ − 2π = 8 arctan √2 − 2π ≈ 1,35935 sr.

Er entspricht auf der Einheitskugel einem Kugelsegment mit halbem Öffnungswinkel θ ≈ 38,4°.

Bei einer Lage mit Mittelpunkt im Ursprung lässt sich das Oktaeder als Menge aller Punkte im dreidimensionalen Raum beschreiben, deren Summe der Koordinatenbeträge höchstens der Umkugelradius r_u ist:

{x ∈ ℝ³ | ‖x‖₁ ≤ r_u} = {(x₁,x₂,x₃) | |x₁| + |x₂| + |x₃| ≤ r_u}.

Die 1-Norm oder Betragssummennorm ‖x‖₁ ist die Summe der absoluten Koordinatenwerte. Für Punkte im Inneren gilt ‖x‖₁ < r_u, auf der Oberfläche ‖x‖₁ = r_u. Die Ecken sind (±r_u,0,0), (0,±r_u,0) und (0,0,±r_u). Bei beliebiger Lage können Mittelpunkt m und drei orthogonale Richtungsvektoren u, v und w verwendet werden; die Parameter t₁, t₂ und t₃ erfüllen dann |t₁| + |t₂| + |t₃| ≤ r_u.

Konstruktion und Beziehungen

Euklid beschreibt die Konstruktion eines Oktaeders im dreizehnten Buch der Elemente, Proposition 14. Für ein Oktaeder, das einer Kugel mit gegebenem Durchmesser eingeschrieben ist, gilt: Das Quadrat über dem Kugeldurchmesser ist gleich dem doppelten Quadrat über der Oktaederkante. In einer sphärischen Konstruktion mit einer Umkugel werden zunächst Achsen und Punkte auf der Kugel festgelegt. Mit drei Kreisen lassen sich anschließend die Eckpunkte E, F, G und H konstruieren; nach dem Verbinden der passenden Punkte entsteht das Oktaeder EFGHCD.

Zum Würfel ist das Oktaeder dual: Die Mittelpunkte der Oktaederflächen entsprechen den Ecken des Würfels. Zwei regelmäßige Tetraeder können so in einen Würfel eingeschrieben werden, dass ihre Ecken Würfelecken und ihre Kanten Flächendiagonalen sind; ihre Vereinigungsmenge ist ein Sterntetraeder. Die dreidimensionale Schnittmenge dieser beiden Tetraeder ist ein Oktaeder mit halber Seitenlänge. Umgekehrt entsteht ebenfalls ein Sterntetraeder, wenn auf alle 8 Oktaederflächen Tetraeder gesetzt werden.

Ein regelmäßiges Tetraeder mit doppelter Kantenlänge kann ein Oktaeder umschreiben: Dessen 6 Ecken sind dann die Mittelpunkte der 6 Tetraederkanten. Das Oktaeder entsteht dabei durch Abschneiden von 4 Tetraedern mit derselben Seitenlänge.

Durch Kombinationen von Oktaeder und Würfel entstehen weitere Körper mit derselben Symmetriegruppe: das abgestumpfte Oktaeder mit 8 Sechsecken und 6 Quadraten, das Kuboktaeder mit 8 Dreiecken, 6 Quadraten, 14 Flächen und 12 Ecken, der abgestumpfte Würfel mit 8 Dreiecken und 6 Achtecken sowie das Rhombendodekaeder mit 14 Ecken und 12 Rauten.

Netze, Graphen und Raumfüllungen

Es gibt 11 Netze des Oktaeders. Ein hohles Oktaeder wird dazu entlang von 5 Kanten aufgeschnitten und in der Ebene ausgebreitet; die übrigen 7 Kanten verbinden die 8 gleichseitigen Dreiecke des Netzes. Für eine Flächenfärbung, bei der benachbarte Flächen verschiedene Farben haben, genügen und benötigt man mindestens 2 Farben.

Der Oktaedergraph ist ein ungerichteter planarer Graph mit 6 Knoten, 12 Kanten und 8 Gebieten. Er ist 4-regulär, das heißt: Von jedem Knoten gehen 4 Kanten aus. Seine Knoten entsprechen den Würfelecken. Für eine Knotenfärbung benötigt er 3 Farben, also hat er chromatische Zahl 3. Seine Kanten benötigen 4 Farben, weil benachbarte Kanten verschieden gefärbt sein müssen und 3 Farben nicht ausreichen; der chromatische Index ist daher 4.

Der duale Graph ist der Würfelgraph mit 8 Knoten, 12 Kanten und 6 Gebieten. Da dessen Knoten mit 2 Farben gefärbt werden können, folgt für die Flächen des Oktaeders ebenfalls die benötigte Zahl 2. Die 5 aufgeschnittenen Kanten eines Netzes bilden einen Spannbaum des Oktaedergraphen. Netze und Spannbäume entsprechen einander bijektiv. Der Oktaedergraph besitzt 32 Hamiltonkreise und 1488 Eulerkreise.

Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos durch Raumfüllungen mit Körpern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden. Genannt werden Raumfüllungen mit Oktaedern und Tetraedern, mit Kuboktaedern und Oktaedern sowie mit Hexaederstümpfen und Oktaedern.

Verallgemeinerung und Anwendungen

Das Oktaeder ist das dreidimensionale Kreuzpolytop. Seine Analoga in n Dimensionen heißen n-dimensionale Kreuzpolytope und sind ebenfalls reguläre Polytope. Sie haben 2 · n Ecken und 2ⁿ (n−1)-dimensionale Simplexe als Facetten. Das eindimensionale Kreuzpolytop ist eine Strecke, das zweidimensionale ein Quadrat. Das vierdimensionale Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 16 Tetraeder als Facetten.

Ein n-dimensionales Kreuzpolytop ist die Einheitskugel der Summennorm ‖x‖₁ = |x₁| + ··· + |xₙ| in ℝⁿ. Es ist zugleich die Menge {(x₁,…,xₙ) | |x₁| + ··· + |xₙ| ≤ 1}, die konvexe Hülle der 2 · n Eckpunkte ±eᵢ und der Durchschnitt der 2ⁿ Halbräume, die durch Hyperebenen der Form ±x₁ ± ··· ± xₙ = 1 bestimmt werden und den Ursprung enthalten. Bei Radius r > 0 bezüglich der Summennorm beträgt sein Volumen (2 · r)ⁿ/n!.

In der Chemie können sich nach dem VSEPR-Modell oktaedrische Molekülgeometrien ergeben. Oktaeder treten auch in Kristallstrukturen auf, etwa in der kubisch flächenzentrierten Natriumchlorid-Struktur mit Koordinationszahl 6, sowie in der Komplexchemie, wenn sich 6 Liganden um ein Zentralatom lagern. Alaun und Diamant können in oktaedrischer Form kristallisieren. In Rollenspielen heißt ein oktaedrischer Würfel mit 8 Flächen „W8“.