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Platonischer Körper
Die platonischen Körper (nach dem griechischen Philosophen Platon) sind die Polyeder mit größtmöglicher Symmetrie. Jeder von ihnen wird von mehreren …
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Grundidee und die fünf Körper
Platonische Körper sind besonders regelmäßige Polyeder, also Körper, deren Oberfläche aus ebenen Vielecken besteht. Sie besitzen größtmögliche Symmetrie: Alle Flächen sind kongruente regelmäßige Vielecke, alle Kanten sind gleich lang, und an jeder Ecke treffen gleich viele Kanten und Flächen zusammen. Außerdem sind sie konvex, das heißt, sie haben keine einspringenden Ecken oder Kanten.
Es gibt genau fünf platonische Körper: das Tetraeder mit 4 gleichseitigen Dreiecken, das Hexaeder oder der Würfel mit 6 Quadraten, das Oktaeder mit 8 gleichseitigen Dreiecken, das Dodekaeder mit 12 regelmäßigen Fünfecken und das Ikosaeder mit 20 gleichseitigen Dreiecken. Ihre Schläfli-Symbole sind {3,3}, {4,3}, {3,4}, {5,3} und {3,5}. Dabei steht {p,q} dafür, dass jede Fläche ein regelmäßiges p-Eck ist und an jeder Ecke q Flächen beziehungsweise Kanten zusammentreffen.
Die wichtigsten Anzahlen sind: Tetraeder: 4 Ecken, 6 Kanten, 4 Flächen; Hexaeder: 8 Ecken, 12 Kanten, 6 Flächen; Oktaeder: 6 Ecken, 12 Kanten, 8 Flächen; Dodekaeder: 20 Ecken, 30 Kanten, 12 Flächen; Ikosaeder: 12 Ecken, 30 Kanten, 20 Flächen. Die Anzahl verschiedener Körpernetze beträgt beim Tetraeder 2, beim Hexaeder und Oktaeder je 11 und beim Dodekaeder und Ikosaeder je 43380.
Warum es nur fünf gibt
Der Grund dafür, dass es nur fünf platonische Körper gibt, liegt in den Winkeln an den Körperecken. An einer Ecke müssen mindestens drei Flächen zusammentreffen. Gleichzeitig muss die Summe der Innenwinkel dieser Flächen kleiner als 360° sein; bei genau 360° lägen die Flächen in einer Ebene, bei mehr als 360° wäre keine solche Ecke möglich.
Bei gleichseitigen Dreiecken beträgt der Innenwinkel 60°. Deshalb können 3, 4 oder 5 Dreiecke an einer Ecke zusammentreffen: Die Winkelsummen sind 180°, 240° und 300°. Daraus entstehen Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder. 6 Dreiecke ergeben 360° und bilden nur eine ebene Parkettierung.
Bei Quadraten beträgt der Innenwinkel 90°. Es können nur 3 Quadrate an einer Ecke zusammentreffen, denn 3 · 90° = 270°; daraus entsteht der Würfel. 4 Quadrate ergeben schon 360°. Bei regelmäßigen Fünfecken beträgt der Innenwinkel 108°. Auch hier können nur 3 Fünfecke eine Ecke bilden, denn 3 · 108° = 324°; daraus entsteht das Dodekaeder. Bei 4 Fünfecken wäre die Summe 432°. Regelmäßige Sechsecke haben 120°, sodass schon 3 davon 360° ergeben. Regelmäßige Vielecke mit noch mehr Ecken haben noch größere Innenwinkel und kommen daher nicht infrage.
Dualität, Symmetrie und Kugeln
Zu jedem konvexen Polyeder kann man einen Dualkörper konstruieren. Bei platonischen Körpern verbindet man dazu die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen. Der Dualkörper hat so viele Ecken, wie der Ausgangskörper Flächen hat, so viele Flächen, wie der Ausgangskörper Ecken hat, und genauso viele Kanten wie dieser. Beim Schläfli-Symbol kehren sich die Zahlen um: Aus {p,q} wird {q,p}.
Bei platonischen Körpern ist der Dualkörper wieder ein platonischer Körper. Das Tetraeder ist selbstdual. Hexaeder und Oktaeder bilden ein duales Paar, ebenso Dodekaeder und Ikosaeder. Duale platonische Körper haben denselben Schwerpunkt und dieselbe Symmetriegruppe.
Die Symmetrie ist so stark, dass jede Ecke auf jede andere Ecke, jede Kante auf jede andere Kante und jede Fläche auf jede andere Fläche abgebildet werden kann. Genauer wirkt die Symmetriegruppe transitiv auf Ecken, Kanten, Flächen und sogar auf Fahnen; eine Fahne ist eine Ecke auf einer Kante auf einer Fläche. Deshalb gehören die fünf Körper zu den regulären Polyedern. Wegen dieser Symmetrie besitzen sie jeweils eine Inkugel, die alle Flächen berührt, eine Umkugel, auf der alle Ecken liegen, und eine Kantenkugel, auf der die Mittelpunkte der Kanten liegen. Alle drei Kugeln haben denselben Mittelpunkt wie der Körper.
Wichtige Formeln
Die platonischen Körper lassen sich auch als reguläre Parkettierungen der Kugeloberfläche auffassen: Projiziert man ihre Kanten vom Mittelpunkt aus auf eine Kugel, entstehen regelmäßige sphärische Vielecke mit denselben Symmetrien. Für das Schläfli-Symbol {p,q} gilt bei platonischen Körpern die Bedingung 1/p + 1/q > 1/2. Außerdem gilt der eulersche Polyedersatz E - K + F = 2, wobei E die Anzahl der Ecken, K die Anzahl der Kanten und F die Anzahl der Flächen ist.
Zusätzlich gilt q · E = 2 · K = p · F. Daraus folgen die allgemeinen Formeln: E = (4 · p) / (4 - (p - 2) · (q - 2)), K = (2 · p · q) / (4 - (p - 2) · (q - 2)) und F = (4 · q) / (4 - (p - 2) · (q - 2)). Der Innenwinkel einer Seitenfläche ist α = ((p - 2) / p) · 180°. Die Summe der Innenwinkel an einer Körperecke ist q · ((p - 2) / p) · 180°; der Winkeldefekt ist 360° minus diese Summe.
Für die Kantenlänge a lautet der Oberflächeninhalt AO = (p · q · a²) / (4 - (p - 2) · (q - 2)) · cot(π/p). Der Winkel β zwischen benachbarten Flächen, also der Diederwinkel, erfüllt β = 2 · arcsin(cos(π/q) / sin(π/p)). Aus β lassen sich Umkugelradius ru, Kantenkugelradius rk und Inkugelradius ri berechnen: ru = a/2 · tan(π/q) · tan(β/2), rk = a/2 · cos(π/p)/cos(π/q) · tan(β/2), ri = a/2 · cot(π/p) · tan(β/2). Das Volumen kann man über Pyramiden berechnen, deren Grundflächen die Seitenflächen und deren Höhe der Inkugelradius ist.
Graphen, Netze und abgeleitete Körper
Die Kanten und Ecken eines platonischen Körpers bilden einen regulären Graphen, weil an jeder Ecke gleich viele Kanten zusammentreffen. Der kürzeste Zyklus, die Taillenweite, entspricht der Anzahl der Ecken einer Seitenfläche. Graphentheoretischer Durchmesser und Radius stimmen überein, weil alle Knoten gleichartig sind.
Wie alle Polyeder besitzen platonische Körper Netze. Ein Netz entsteht, wenn man ein hohles Polyeder entlang einiger Kanten aufschneidet und flach ausbreitet. Sind K die Kanten und F die Flächen, dann müssen K - F + 1 Kanten aufgeschnitten werden. Diese aufgeschnittenen Kanten bilden im zugehörigen Graphen einen Spannbaum; jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum.
Auch Färbungen, Hamiltonkreise und Eulerkreise werden betrachtet. Die chromatische Zahl gibt an, wie viele Farben mindestens nötig sind, um benachbarte Knoten verschieden zu färben; der chromatische Index bezieht sich auf Kanten. Alle Graphen der platonischen Körper besitzen mehrere Hamiltonkreise, also geschlossene Wege, die jeden Knoten genau einmal enthalten. Eulerkreise gibt es bei Tetraeder, Würfel, Dodekaeder und Ikosaeder nicht, weil alle Knotengrade ungerade sind. Das Oktaeder besitzt laut Computeruntersuchungen 1844 Eulerkreise.
Aus platonischen Körpern lassen sich weitere regelmäßige Körper ableiten. Schneidet man die Ecken so ab, dass alle Kanten gleich lang bleiben, entstehen abgestumpfte platonische Körper, die archimedische Körper sind. Beispiele sind der Tetraederstumpf, der Hexaederstumpf und der Ikosaederstumpf, der auch als Fußballkörper bekannt ist. Baut man dagegen Pyramiden auf die Seitenflächen, entstehen Sternkörper wie das Sterntetraeder.
Geschichte, Verallgemeinerungen und Anwendungen
Platonische Körper wurden seit der Antike untersucht. Die Pythagoreer kannten zumindest Tetraeder, Hexaeder und Dodekaeder. Theaitetos (415-369 v. Chr.) kannte auch Oktaeder und Ikosaeder und bewies, dass es nur fünf konvexe reguläre Polyeder geben kann. Platon (ca. 427-347 v. Chr.) beschrieb sie im Timaios und ordnete sie den Elementen zu: Tetraeder dem Feuer, Oktaeder der Luft, Ikosaeder dem Wasser und Hexaeder der Erde; das Dodekaeder wurde später mit Äther verbunden. Euklid bewies im XIII. Buch der Elemente ebenfalls, dass es genau fünf gibt.
Ludwig Schläfli bestimmte 1852 die n-dimensionalen Verwandten. Im vierdimensionalen Raum gibt es zu den fünf regulären dreidimensionalen Körpern entsprechende reguläre 4-Polytope: 5-Zell, 8-Zell oder Tesserakt, 16-Zell, 120-Zell und 600-Zell. Zusätzlich gibt es dort das 24-Zell aus 24 Oktaedern. In fünf und höheren Dimensionen gibt es nur noch drei reguläre Polytope: Simplex, Hyperkubus und Hyperoktaeder.
Anwendungen ergeben sich aus der starken Regelmäßigkeit. Platonische Körper werden als Spielwürfel verwendet, wenn Dichte, Ecken und Kanten gleichartig sind. Sie treten in Kunst und Architektur auf, etwa bei M. C. Escher oder Salvador Dalí. In Naturwissenschaften erscheinen sie als Modelle: Die Wasserstoffatome im sp³-hybridisierten Methan-Hybridorbital entsprechen einem Tetraeder; Tetraeder, Würfel und Oktaeder kommen idealisiert als Kristallformen vor; dodekaedrische und ikosaedrische Symmetrien finden sich bei Quasikristallen. Ikosaederformen treten bei Clustern und Proteinkapsiden von Viren auf, und das Dodekaeder ist die kleinste mögliche Form der Fullerene.
