Dualität (Mathematik)

Grundidee der Dualität

Dualität bedeutet, ein mathematisches oder naturwissenschaftliches Objekt zusätzlich aus einer zweiten, dualen Perspektive zu betrachten. Zu einem Objekt X wird ein Objekt X′ konstruiert; wendet man dieselbe oder eine ähnliche Konstruktion erneut an, entsteht X″ = (X′)′. X und X″ sind häufig gleich oder isomorph, also strukturgleich. Deshalb enthält das duale Objekt X′ wichtige Informationen über X. Eine Dualitätstheorie untersucht, wie sich Eigenschaften zwischen X und X′ übersetzen lassen.

Der Nutzen liegt darin, dass ein Problem in einer der beiden Betrachtungsweisen leichter lösbar sein kann. Dualität ist in vielen Gebieten wichtig, etwa in Geometrie, Algebra und Analysis. Sie ist nicht mit Dualismus zu verwechseln: Im Mittelpunkt stehen nicht Gegensätze, sondern die Überführbarkeit der Objekte ineinander.

Formal ist die Konstruktion eine Eins-zu-eins-Abbildung zwischen Begriffen, Theoremen oder Strukturen. Im engeren Sinn ist sie eine Involution, also selbstinvers: Ist B das Duale von A, dann ist A wieder das Duale von B. Im weiteren Sinn spricht man auch bei nicht selbstinversen Abbildungen von Dualität, wenn die Umkehrabbildung auf einer ähnlichen Konstruktion beruht oder auf einer großen Objektklasse mit ihr übereinstimmt.

Logische Umkehrung und indirekter Beweis

Ein einfaches duales Vorgehen ist die logische Verneinung einer Aussage. Die Aussage „Alle Vogelarten können fliegen“ wird durch „Nicht alle Vogelarten können fliegen“ verneint. Diese Aussage lässt sich gleichbedeutend als „Es gibt eine Vogelart, die nicht fliegen kann“ formulieren.

Die ursprüngliche Aussage direkt zu beweisen würde erfordern, alle Vogelarten zu untersuchen. Viele bestätigende Beispiele ohne Gegenbeispiel genügen dafür nicht; dies wäre eine unvollständige Induktion und keine streng logisch zulässige Schlussform. Die verneinte Aussage ist dagegen durch ein einziges Gegenbeispiel beweisbar, etwa durch einen Pinguin. Ist die inverse Aussage wahr, so ist die Ursprungsaussage falsch. Die doppelte Verneinung führt wieder zur Ursprungsaussage. Das ist ein einfaches Beispiel für einen indirekten Beweis.

Man kann Aussagen als Aussagenraum auffassen und in den Raum gegenteiliger Aussagen überführen. Je nach Fragestellung ist die Untersuchung im ursprünglichen oder im dualen Raum günstiger.

Dualität in der Geometrie und bei Graphen

Zwei Polytope P und Q, also beispielsweise Polygone oder Polyeder, heißen kombinatorisch dual, wenn ihre Seitenverbände antiisomorph sind. Dabei wird die Inklusionsstruktur von Ecken, Kanten, Flächen und weiteren Seiten umgekehrt. Bei einem dreidimensionalen konvexen Polyeder P kann man die Mittelpunkte seiner Seitenflächen als Ecken von Q wählen und zwei neue Ecken verbinden, wenn die zugehörigen Flächen von P eine gemeinsame Kante haben. Die konvexe Hülle dieser neuen Ecken bildet das duale Polyeder Q.

Dabei ist die Eckenzahl von Q gleich der Flächenzahl von P, die Flächenzahl von Q gleich der Eckenzahl von P, und die Kantenanzahlen sind gleich. Diese Dualität heißt dimensionsumkehrend; das Duale des Dualen ist wieder das Original. In Dimension n sind n-Maßpolytope und n-Kreuzpolytope zueinander dual und für n ≥ 3 verschieden. In drei Dimensionen sind dies Würfel und Oktaeder. Ein n-dimensionaler Simplex ist selbstdual; für n = 3 ist dies das Tetraeder.

Kombinatorische Dualität bestimmt jedoch nicht die Symmetrien. Ein Quadrat und ein beliebiges Viereck sind kombinatorisch dual, weil an jeder Ecke zwei Kanten zusammentreffen und jede Kante zwei Ecken besitzt. Das Quadrat besitzt Spiegelungen als Symmetrieabbildungen, ein beliebiges Viereck in der Regel nicht.

Eine besondere duale Form ist die Polare eines Polytops P als abgeschlossene Teilmenge eines euklidischen Vektorraums. Sie besteht aus allen Punkten y mit ⟨y,x⟩ ≤ 1 für alle x aus P. Liegt der geometrische Schwerpunkt von P im Nullpunkt, so haben P und seine Polare dieselbe Symmetriegruppe. Das doppelt-duale Polyeder ist P ähnlich und mit P gleich, wenn der Nullpunkt in seinem Inneren liegt.

In der ebenen projektiven Geometrie erhält man aus einer wahren Aussage wieder eine wahre duale Aussage, indem man „Punkt“ und „Gerade“ vertauscht sowie die Verbindungsgerade zweier Punkte durch den Schnittpunkt zweier Geraden und umgekehrt ersetzt. Für desarguessche projektive Geometrien, etwa zweidimensionale projektive Räume über Körpern, ist die duale Geometrie bis auf Isomorphie mit der ursprünglichen identisch. Der Satz von Desargues ist selbstdual; Satz von Pascal und Satz von Brianchon bilden ein duales Paar.

Auch planare Graphen besitzen geometrisch duale Graphen. Zu G = (V,E) entsteht G′ = (V′,E′), indem in jede Fläche von G ein neuer Knoten gesetzt wird. Zu jeder Kante e ∈ E wird eine Kante e′ ergänzt, die die Knoten der beiden angrenzenden Flächen verbindet. Ist G zusammenhängend, entspricht die Zahl der Knoten von G′ der Zahl der Flächen von G, die Zahl der Flächen von G′ der Zahl der Knoten von G, und die Kantenanzahl bleibt gleich. Außerdem gilt G″ = G.

Dualraum und Bidualraum

Ist V ein Vektorraum über einem Körper K, dann ist sein Dualraum V* der Vektorraum aller linearen Abbildungen V → K. Diese Abbildungen heißen lineare Funktionale. Für einen endlichdimensionalen Vektorraum haben V und V* dieselbe Dimension; außerdem ist der Bidualraum V** kanonisch isomorph zu V. „Kanonisch“ bedeutet hier, dass dieser Isomorphismus ohne zusätzliche Wahl einer Basis gegeben ist.

Für einen Banachraum X besteht X* aus den stetigen linearen Funktionalen. Bei unendlichdimensionalen Räumen ist X** im Allgemeinen nicht kanonisch isomorph zu X. Es gibt aber immer eine kanonische Einbettung von X in X**. Ist diese Einbettung surjektiv und damit ein Isomorphismus, heißt der Raum reflexiv. Beispiele für reflexive Räume sind Lp für 1 < p < ∞ sowie alle Hilberträume.

Komplementbildung in der Mengenlehre

Zu einer Teilmenge M einer Grundmenge G gehört ihr Komplement Mᶜ = G \ M. Es enthält genau die Elemente von G, die nicht in M liegen. Die Komplementbildung ist eine Dualität, auch wenn sie üblicherweise nicht so bezeichnet wird, denn das Komplement des Komplements ist wieder M.

Sie verknüpft Vereinigungsmenge und Schnittmenge. Eine de Morgansche Regel lautet: (M₁ ∪ M₂)ᶜ = M₁ᶜ ∩ M₂ᶜ. Allgemeiner ist die Negation in einer booleschen Algebra ein entsprechendes Prinzip.

Das Dualitätsprinzip für Verbände besagt: Aus jeder wahren Aussage über Teilmengen von G entsteht wieder eine wahre Aussage, wenn man ∪ und ∩ sowie ∅, die leere Menge, und G, die Grundmenge, jeweils vertauscht.

Lagrange-Dualität bei Optimierungsproblemen

In der mathematischen Optimierung kann einem primalen Problem ein duales Problem zugeordnet werden. Das primale Problem hat die Form: Minimiere f₀(x) unter den Nebenbedingungen fᵢ(x) ≤ 0 für i = 1, …, p, hⱼ(x) = 0 für j = 1, …, q und x ∈ X.

Das zugehörige duale Problem lautet: Maximiere g(λ,μ) = infₓ [f₀(x) + ∑ᵢ₌₁ᵖ λᵢfᵢ(x) + ∑ⱼ₌₁ᑫ μⱼhⱼ(x)] unter der Nebenbedingung λ ≥ 0. Es besitzt leichtere Nebenbedingungen als das primale Problem und ist ein konvexes Optimierungsproblem. Dafür ist seine Zielfunktion meist schwerer zu berechnen.

Die Dualität der linearen Optimierung ist ein Spezialfall der Lagrange-Dualität. Diese ist wichtig für Optimalitätskriterien wie die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen und für Algorithmen wie Innere-Punkte-Verfahren.