Mengendiagramm

Grundidee und Bedeutung

Mengendiagramme veranschaulichen die Mengenlehre grafisch. Sie zeigen, welche Elemente zu welchen Mengen gehören und in welchen Beziehungen Mengen zueinander stehen. Besonders wichtig sind Euler-Diagramme und Venn-Diagramme.

Mengendiagramme können Mengenbeziehungen verständlicher machen und werden seit den 1990er Jahren wieder verstärkt als mathematische Beweismittel in verschiedenen Wissenschaften eingesetzt. Für Beweise eignen sich vor allem Darstellungen, die alle möglichen Relationen der betrachteten Mengen berücksichtigen. Solche Diagramme werden Venn-Diagramme genannt.

Bei n beteiligten Mengen müssen Venn-Diagramme 2^{n} mögliche Bereiche beziehungsweise Relationen darstellen. Deshalb werden sie bei mehr als drei Mengen schnell unübersichtlich. John Venn stellte mit Ellipsen zunächst bis zu vier und schließlich fünf Mengen dar. Heute sind auch Diagrammtechniken bekannt, die diese Beschränkungen nicht mehr besitzen und teilweise verborgene Informationen sichtbar machen.

Euler-Diagramme

Euler-Diagramme dienen in erster Linie dazu, tatsächliche mengentheoretische Beziehungen und Sachverhalte anschaulich zu machen. Dazu gehört beispielsweise die Teilmengeneigenschaft. Übliche Darstellungen sind:

• x ∈ A: x ist ein Element von A.
• x ∉ A: x ist nicht Element von A.
• B ⊂ A: B ist eine Teilmenge von A.

In einem Euler-Diagramm werden nur die Überschneidungen und Einschachtelungen eingezeichnet, die tatsächlich vorliegen. Beispiele sind Diagramme zu den Zahlenbereichen, zur Zugehörigkeit europäischer und nicht europäischer Staaten zu europäischen Institutionen sowie zu den britischen Inseln. Auch die Aussage „Alle Lebewesen mit vier Beinen sind Tiere, aber kein Mineral ist ein Tier“ kann durch ein Euler-Diagramm dargestellt werden.

Der Vorteil besteht darin, dass die konkreten Beziehungen meist unmittelbar erkennbar sind, etwa welche Mengen ineinander liegen oder sich überschneiden.

Venn-Diagramme und Mengenoperationen

Venn-Diagramme stellen im Unterschied zu Euler-Diagrammen alle möglichen Relationen zwischen den betrachteten Mengen dar. Das gilt auch für Überlappungen, die leer sind und keine Elemente enthalten. Dadurch kann man sowohl vorhandene als auch fehlende Zusammenhänge ablesen und aus dem Vorliegen oder Nichtvorliegen einzelner Relationen auf andere Relationen schließen.

Wichtige Mengenoperationen sind:

• A ∩ B: die Schnittmenge, also die Elemente, die zu A und B gehören.
• A ∪ B: die Vereinigungsmenge, also die Elemente, die zu A, zu B oder zu beiden gehören.
• A \ B: die Differenzmenge, also die Elemente von A, die nicht zu B gehören.
• A △ B: die symmetrische Differenz, also die Elemente, die zu genau einer der beiden Mengen gehören.
• Aᶜ: das Komplement von A, also der betrachtete Bereich außerhalb von A.

Venn-Diagramme sind besonders als symmetrische Darstellungen mit drei Kreisen bekannt. Ihr wesentlicher Nutzen liegt darin, dass kein möglicher Überschneidungsbereich von vornherein ausgelassen wird.

Erweiterung auf mehrere Mengen

John Venn wollte „in sich elegante symmetrische Figuren“ für eine größere Anzahl von Mengen finden. Neben Konstruktionen für n = 3, n = 4, n = 5 und n = 6 Mengen zeigte er ein Diagramm für vier Mengen in Ellipsenform.

Er gab außerdem ein Konstruktionsverfahren für eine „beliebige“ Anzahl von Mengen an. Ausgehend vom Diagramm mit drei Kreisen wird dabei jede geschlossene Kurve mit den anderen Kurven verflochten. Über die jeweils letzte Mengendarstellung wird ein „Schlauch“ gezogen, sodass dieser auch alle anderen Mengen schneidet. Auf diese Weise sollen sämtliche möglichen Relationen zwischen den Mengen dargestellt werden.

Mit wachsender Mengenanzahl steigt allerdings die Zahl der darzustellenden Möglichkeiten auf 2^{n}. Daher werden klassische Venn-Diagramme mit vielen Mengen trotz solcher Konstruktionen zunehmend schwer überschaubar.

Konkreter Unterschied zwischen Euler- und Venn-Diagrammen

Der Unterschied lässt sich an drei Mengen erkennen:

A = {1, 2, 5}

B = {1, 6}

C = {4, 7}

Im Euler-Diagramm werden nur die tatsächlich vorhandenen Überschneidungen dargestellt. Hier überschneiden sich A und B, weil beide die 1 enthalten. Die Menge C überschneidet sich mit keiner der beiden anderen Mengen.

Das Venn-Diagramm zeichnet dagegen auch alle möglichen Überlappungen der drei Mengen ein, obwohl mehrere dieser Bereiche keine Objekte enthalten. Es macht dadurch auch leere Relationen sichtbar. Euler-Diagramme sind meist intuitiver, wenn konkrete Mengenbeziehungen gezeigt werden sollen; Venn-Diagramme eignen sich besser für vollständige Darstellungen und für Schlussfolgerungen, weil keine mögliche Überschneidung vergessen wird.

Johnston-Diagramme und logische Aussagen

Johnston-Diagramme sind eine zweiwertige aussagenlogische Interpretation von Mengendiagrammen, insbesondere von Venn-Diagrammen. Ein Kreis P wird als Menge der Sachverhalte verstanden, unter denen die Aussage P wahr ist. Der Bereich außerhalb des Kreises ist das Komplement und enthält die Sachverhalte, unter denen P falsch ist.

Um auszudrücken, dass eine Aussage wahr ist, wird der gesamte Bereich außerhalb ihres Kreises schwarz markiert. Damit wird angezeigt, dass Sachverhalte, unter denen die Aussage nicht wahr ist, nicht vorkommen können. Um auszudrücken, dass eine Aussage falsch ist, wird der Bereich innerhalb ihres Kreises schwarz markiert.

Für die Konjunktion zweier Aussagen P und Q, also „P und Q“, wird die gesamte Fläche außerhalb ihrer Schnittfläche schwarz markiert. Nur die Sachverhalte, unter denen beide Aussagen wahr sind, bleiben möglich.

Damit bilden Johnston-Diagramme die klassische Aussagenlogik auf die elementare Mengenlehre ab: Die Negation entspricht der Komplementbildung, die Konjunktion der Schnittmenge und die Disjunktion der Vereinigungsmenge. Die Wahrheitswerte wahr und falsch werden auf die Allmenge beziehungsweise die leere Menge abgebild.