Verallgemeinertes Viereck

Begriff und Definition

Ein verallgemeinertes Viereck ist eine Inzidenzstruktur, also ein System aus einer Punktmenge {\mathfrak p}, einer Blockmenge {\mathfrak B} und einer Inzidenzrelation I\subseteq {\mathfrak p}\times {\mathfrak B}. Die Blöcke werden hier meist Geraden genannt. Solche Strukturen werden besonders in der endlichen Geometrie untersucht.

Für ein verallgemeinertes Viereck gelten vier Axiome:

• Es gibt eine natürliche Zahl s\geq 1, sodass jede Gerade genau s Punkte enthält.
• Es gibt eine natürliche Zahl t\geq 1, sodass durch jeden Punkt genau t Geraden gehen.
• Durch zwei verschiedene Punkte verläuft höchstens eine Gerade.
• Liegt ein Punkt p nicht auf einer Geraden g, so gibt es genau eine Gerade h durch p, die g schneidet.

Allgemeiner darf eine der Zahlen s und t auch eine feste unendliche Zahl sein.

Ordnung und Anzahlen

Die Anzahl s=v_1 der Punkte auf einer beliebigen Geraden und die Anzahl t=b_1 der Geraden durch einen beliebigen Punkt bestimmen die Ordnung. Das Zahlenpaar (s-1,t-1) heißt Ordnung des verallgemeinerten Vierecks; entsprechend schreibt man GQ(s-1,t-1).

Für s,t\geq 1 enthält ein solches GQ(s-1,t-1) genau

• (s+1)\cdot(st+1) Punkte und
• (t+1)\cdot(st+1) Geraden.

Wichtige Eigenschaften

Hat die Struktur mehr als einen Punkt und mehr als eine Gerade, ist sie einfach: Zwei Geraden sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Punkte enthalten.

Die duale Inzidenzstruktur entsteht, indem Punkt- und Geradenmenge vertauscht und die Inzidenzrelation umgekehrt wird. Das Dual eines GQ(s-1,t-1) ist ein GQ(t-1,s-1). Damit ist die Klasse der verallgemeinerten Vierecke zu sich selbst dual; dies gilt auch für unendliche Strukturen. Selbst wenn s=t gilt, muss ein verallgemeinertes Viereck jedoch nicht zu seinem Dual isomorph, also strukturgleich, sein.

Jedes endliche verallgemeinerte Viereck erfüllt die Regularitätsbedingungen (P_1) und (B_1) und ist damit eine taktische Konfiguration. Sind mindestens zwei Punkte und mindestens zwei Geraden vorhanden, gibt es außerdem Punktpaare ohne Verbindungsgerade. Eine solche Struktur ist daher weder eine Inzidenzgeometrie noch ein 2-Blockplan.

Typische Beispiele

Zu den trivialen Beispielen gehören Strukturen mit nur einer Geraden, die alle s Punkte enthält; sie sind GQ(s-1,0). Dual dazu gibt es Strukturen mit nur einem Punkt, durch den alle t Geraden verlaufen; sie sind GQ(0,t-1).

Das gewöhnliche Viereck, dessen Eckpunkte als Punkte und dessen Seiten als Blöcke aufgefasst werden, ist bis auf Isomorphie das einzige GQ(1,1). Es ist zugleich das einzige verallgemeinerte Viereck mit genau vier Punkten und ist zu seiner dualen Struktur isomorph. Allgemeiner bildet ein quadratisches Gitter ein GQ(n,1). Das „Doily“ ist ein GQ(2,2).

Konstruktion auf einem Hyperboloid

Ein weiteres Beispiel entsteht auf einem einschaligen Hyperboloid in einem dreidimensionalen affinen oder projektiven Raum. Als Punkte dienen alle Punkte der Hyperboloidfläche; als Geraden dienen diejenigen Geraden, die vollständig im Hyperboloid liegen.

Diese Geraden zerfallen in zwei disjunkte Scharen. Innerhalb jeder Schar sind die Geraden paarweise windschief, schneiden sich also nicht und sind nicht parallel in einer gemeinsamen Ebene. Durch jeden Punkt des Hyperboloids verlaufen genau zwei der Geraden, sodass t=2 gilt.

In einem endlichen projektiven Raum \mathbb P^3(\mathbb F_q) über dem endlichen Körper \mathbb F_q enthält jede Gerade s=q+1 Punkte. Das so gebildete verallgemeinerte Viereck ist daher ein GQ(q,1) und isomorph zu einem quadratischen Gitter.