Verknüpfung (Mathematik)

Grundidee und allgemeine Definition

Eine Verknüpfung ist in der Mathematik ein Oberbegriff für Operationen. Sie legt fest, wie ein oder mehrere mathematische Objekte zu einem weiteren Objekt führen. Dazu gehören arithmetische Grundrechenarten wie Addition und Subtraktion, geometrische Operationen wie Spiegelung und Drehung sowie weitere Rechenoperationen; gelegentlich werden auch logische Operatoren dazu gezählt. Das Wort kann außerdem die Hintereinanderausführung, also Verkettung, von Funktionen bezeichnen.

Allgemein seien für eine natürliche Zahl n die Mengen A₁,…,Aₙ und eine weitere Menge B gegeben. Jede Abbildung A₁ × … × Aₙ → B heißt n-stellige Verknüpfung. Sie ordnet jedem n-Tupel (x₁,…,xₙ) mit x₁ ∈ A₁,…,xₙ ∈ Aₙ eindeutig ein Element von B zu. Die Mengen dürfen teilweise oder vollständig gleich sein. Bei wenigen Elementen und beispielsweise zwei Stellen kann eine Verknüpfung in einer Verknüpfungstafel dargestellt werden: Sie enthält alle möglichen Operandenpaare und ihr jeweiliges Ergebnis.

Sind alle Eingabemengen gleich der Ergebnismenge, also Aᵢ = B für 1 ≤ i ≤ n, heißt die Abbildung B × … × B → B eine innere n-stellige Verknüpfung oder n-stellige Operation auf B. Kommt B nur in einem Teil der Eingabestellen vor, heißt sie äußere n-stellige Verknüpfung auf B. Die übrigen Eingaben bilden den Operatorenbereich A₁ × … × Aₘ; seine Elemente heißen Operatoren. Jede n-stellige Verknüpfung kann außerdem als (n+1)-stellige Relation aufgefasst werden.

Innere und äußere Verknüpfungen

Die Abbildung (x,y,z) ↦ (x+y)/(z²+1) von ℝ × ℝ × ℝ nach ℝ ist eine innere dreistellige Verknüpfung auf ℝ: Alle drei Eingaben und das Ergebnis sind reelle Zahlen.

Ist f eine Abbildung von ℝ nach ℝ, dann definiert

• : {f} × ℝ → ℝ, (f,x) ↦ f*x := f(x) eine äußere zweistellige Verknüpfung auf ℝ. Der Operatorenbereich ist {f}; der einzige Operator ist also die Abbildung f. Eine innere n-stellige Verknüpfung auf B kann auch als äußere zweistellige Verknüpfung auf B mit Operatorenbereich Bⁿ⁻¹ angesehen werden.

Verknüpfungen mit null oder einer Stelle

Eine nullstellige Verknüpfung von A nach B kann als Abbildung A⁰ → B verstanden werden. Dabei gilt A⁰ = A^∅ = {f | f : ∅ → A} = {∅} = {0} = 1. Daher hat jede solche Abbildung die Form c_b : {∅} → B, ∅ ↦ b für ein b ∈ B. Sie ist also konstant und kann mit der Konstante b ∈ B identifiziert werden. Weil stets B⁰ = {∅} gilt, kann jede nullstellige Verknüpfung {∅} → B auch als innere Verknüpfung B⁰ → B auf B betrachtet werden.

Eine einstellige Verknüpfung ist einfach eine Abbildung einer Menge A nach einer Menge B. Beispiele sind die Komplementbildung auf der Potenzmenge: Für jede Teilmenge X von A gilt Xᶜ := A \ X. Auch die Sinusfunktion sin : ℝ → ℝ, x ↦ sin(x), ist eine einstellige Verknüpfung.

Zwei- und mehrstellige Verknüpfungen

Besonders häufig meint „Verknüpfung“ eine zweistellige oder binäre Verknüpfung. Wichtige Sonderfälle sind innere und äußere Verknüpfungen. Binäre Verknüpfungen werden oft in Infixschreibweise notiert: Das Operationszeichen steht dann zwischen den beiden Operanden, etwa beim Pluszeichen.

Drei- und mehrstellige Verknüpfungen werden seltener so bezeichnet. Beispiele für dreistellige Verknüpfungen sind die Abbildung, die drei Vektoren aus ℝ³ auf ihr Spatprodukt aus ℝ abbildet, sowie die Ternärverknüpfung in einem Ternärkörper.

Partielle Verknüpfungen und Algebra

Bei einer totalen Verknüpfung besitzt jedes zulässige n-Tupel aus dem Definitionsbereich einen Verknüpfungswert. Ersetzt man die totale Abbildung durch eine partielle Abbildung, erhält man eine partielle Verknüpfung. Dann ist es erlaubt, dass manchen n-Tupel-Kombinationen kein Bildwert beziehungsweise Funktionswert zugeordnet ist.

In der Algebra definieren Verknüpfungen algebraische Strukturen; dafür müssen sie bestimmte Bedingungen, sogenannte Axiome, erfüllen. Partielle Algebren dürfen auch partielle Verknüpfungen enthalten. Eine Halbgruppe ist beispielsweise eine Menge mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung, die das Assoziativgesetz erfüllt. Dass das Ergebnis wieder zur gegebenen Menge gehört, heißt Abgeschlossenheit und ist bei einer inneren Verknüpfung bereits in ihrer Definition enthalten.