Grundrechenart

Bedeutung und Überblick

Die vier Grundrechenarten sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Ihre Zeichen sind Plus (+), Minus (−), Mal (· oder ×) und Geteilt (: oder /). Sie bilden eine Grundlage der Arithmetik und gehören neben Lesen und Schreiben zu den grundlegenden Fähigkeiten, die Schülerinnen und Schüler während der Schulzeit erwerben.

Addition und Multiplikation gelten als Grundoperationen. Subtraktion und Division werden als davon abgeleitete Umkehroperationen verstanden. Für Addition und Multiplikation gelten wichtige Rechengesetze, darunter Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze. In der Algebra werden diese Konzepte verallgemeinert und auf andere mathematische Objekte übertragen.

Die vier Rechenarten

Bei der Addition werden zwei oder mehr Zahlen zusammengezählt. Die Operanden heißen Summanden, der gesamte Term heißt Summe und sein Ergebnis Summenwert: Summand + Summand = Summenwert. Beispiel: 1 + 2 = 3. Die Summe natürlicher Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.

Bei der Subtraktion wird eine Zahl von einer anderen abgezogen. Die erste Zahl heißt Minuend, die abzuziehende Zahl Subtrahend, der Term Differenz und das Ergebnis Differenzwert: Minuend − Subtrahend = Differenzwert. Beispiel: 5 − 1 = 4. Bei natürlichen Zahlen bleibt das Ergebnis nur dann natürlich, wenn der Minuend größer als der Subtrahend ist. Sind beide gleich, ist das Ergebnis 0, die häufig ebenfalls zu den natürlichen Zahlen gezählt wird. Ist der Subtrahend größer, entsteht eine negative Zahl. Deshalb erweitert man für eine uneingeschränkt mögliche Subtraktion den Zahlbereich auf die ganzen Zahlen.

Bei der Multiplikation werden zwei oder mehr Zahlen miteinander malgenommen. Die Operanden heißen Multiplikator und Multiplikand oder zusammenfassend Faktoren. Der Term heißt Produkt und das Ergebnis Produktwert: Multiplikator · Multiplikand = Produktwert. Beispiel: 3 · 5 = 15. Das Produkt natürlicher beziehungsweise ganzer Zahlen ist wieder natürlich beziehungsweise ganz.

Bei der Division wird eine Zahl durch eine andere geteilt. Die zu teilende Zahl heißt Dividend, die Zahl, durch die geteilt wird, Divisor. Der Term heißt Quotient und das Ergebnis Quotientenwert: Dividend : Divisor = Quotientwert. Beispiel: 12 : 3 = 4. Der Quotient zweier natürlicher oder ganzer Zahlen ist nur dann wieder natürlich oder ganz, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist. Andernfalls entsteht eine Bruchzahl; daher wird der Zahlbereich auf die rationalen Zahlen erweitert. Eine Division durch 0 kann nicht sinnvoll definiert werden.

Kleine Aufgaben lassen sich durch Kopfrechnen, grundlegende Rechentechniken und das Einmaleins lösen. Für große Zahlen gibt es die schriftliche Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Wichtige Rechengesetze

Für Zahlen a, b und c gelten bei Addition und Multiplikation die Kommutativgesetze:

a + b = b + a und a · b = b · a.

Das Ergebnis hängt also nicht von der Reihenfolge der Summanden oder Faktoren ab. Außerdem gelten die Assoziativgesetze:

(a + b) + c = a + (b + c) und (a · b) · c = a · (b · c).

Bei reinen Summen oder Produkten ist es daher unerheblich, in welcher Reihenfolge Teilsummen oder Teilprodukte berechnet werden; entsprechende Klammern dürfen weggelassen werden.

Die Distributivgesetze verbinden Addition und Multiplikation:

a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c.

Damit lässt sich durch Ausmultiplizieren ein Produkt in eine Summe und durch Ausklammern eine Summe in ein Produkt umformen. Die Zahl 0 ist das neutrale Element der Addition, weil a + 0 = 0 + a = a gilt. Die Zahl 1 ist das neutrale Element der Multiplikation, denn a · 1 = 1 · a = a.

Für Subtraktion und Division gelten diese Gesetze nicht oder nur eingeschränkt. Bei Verbindungen mehrerer Rechenarten sind zusätzlich Regeln wie „Punkt vor Strich“, Klammerregeln und die Gesetze der Bruchrechnung zu beachten.

Grund- und Umkehroperationen

Die Addition natürlicher Zahlen kann als wiederholte Ermittlung des Nachfolgers eines Summanden verstanden werden. Die Multiplikation natürlicher Zahlen lässt sich als wiederholte Addition eines Faktors mit sich selbst auffassen. Diese Vorstellungen werden anschließend auf andere Zahlbereiche wie die ganzen und rationalen Zahlen übertragen.

Subtraktion und Division entstehen als Umkehroperationen beim Lösen elementarer Gleichungen. Aus a + x = b folgt x = b − a; aus a · x = b folgt x = b / a. Dabei wird die Subtraktion einer Zahl a als Addition ihrer Gegenzahl −a definiert:

b − a = b + (−a).

Entsprechend wird die Division durch a als Multiplikation mit ihrem Kehrwert 1/a definiert:

b / a = b · 1/a.

So ist beispielsweise 5 − 1 = 5 + (−1) und 12 : 3 = 12 · 1/3. Gegenzahl und Kehrwert heißen inverse Zahlen bezüglich der Addition beziehungsweise Multiplikation. Durch diese Darstellung lassen sich Regeln für Addition und Multiplikation auf Subtraktion und Division übertragen. Beim Kehrwert bleibt die Einschränkung bestehen, dass a nicht 0 sein darf.

Unterricht und Zahlbereiche

In den ersten Grundschuljahren beginnt der Mathematikunterricht mit kleinen natürlichen Zahlen und erweitert den Zahlenraum später auf größere Zahlen. Zu den Unterrichtsinhalten gehören das kleine Einmaleins, die Division mit Rest, einfache Gleichungen und der Dreisatz. Geübt werden Kopfrechnen, schriftliche Verfahren, Überschlagsrechnen sowie Anwendungen in Textaufgaben. Einfache Rechengesetze unterstützen dabei das vorteilhafte Rechnen.

In den ersten Jahren der Sekundarstufe I kommen negative Zahlen hinzu. Außerdem werden die Bruchrechnung und damit die rationalen Zahlen eingeführt. Ein weiterer Schwerpunkt sind die Gesetze, die beim Verbinden der vier Grundrechenarten gelten. Die schrittweise Erweiterung der Zahlbereiche hängt unmittelbar mit den Operationen zusammen: Negative Ergebnisse erfordern ganze Zahlen, nicht ganzzahlige Quotienten rationale Zahlen.

Abstraktion und historische Entwicklung

Eine algebraische Struktur besteht aus einer Trägermenge, hier einer Zahlenmenge, und einer oder mehreren Verknüpfungen, hier Rechenoperationen, die nicht aus der Menge herausführen. Ihre Art wird durch Eigenschaften der Verknüpfungen bestimmt, die als Axiome festgelegt werden.

Die natürlichen Zahlen bilden mit der Addition die kommutative Halbgruppe (ℕ, +); Assoziativ- und Kommutativgesetz gelten. Auch (ℕ, ·) ist eine kommutative Halbgruppe. Die ganzen Zahlen bilden mit der Addition eine kommutative Gruppe (ℤ, +), die zusätzlich ein neutrales Element und zu jedem Element ein inverses Element besitzt. Mit Addition und Multiplikation bilden sie den kommutativen Ring (ℤ, +, ·), in dem außerdem die Distributivgesetze gelten. Die rationalen Zahlen bilden den Körper (ℚ, +, ·); dort besitzt zusätzlich jedes Element außer 0 ein multiplikativ inverses Element.

Nach dem Permanenzprinzip bleiben die Rechenregeln einer grundlegenden Struktur in einer entsprechenden spezielleren Struktur erhalten. Diese Abstraktion ermöglicht die Übertragung auf andere Objekte, etwa auf die Vektoraddition und die Matrizenaddition. Bei endlichen Mengen entstehen beispielsweise Restklassenringe als Abstraktion der Division mit Rest.

Alle vier Rechenarten waren bereits in der altägyptischen und babylonischen Mathematik bekannt, doch Multiplikation und Division galten dort nicht als eigenständige Operationen. Multiplikationen wurden durch fortgesetztes Verdoppeln, die Duplatio, und Addition der Teilergebnisse ausgeführt. Nicht ganzzahlige Divisionen wurden näherungsweise durch fortgesetzte Halbierung, die Mediatio, berechnet. Als eigenständige Operationen erscheinen Multiplikation und Division in der altgriechischen Mathematik, etwa bei Euklid und Pappos.

Welche Operationen als Grundrechenarten galten, wechselte lange. Heron und Diophantos ergänzten Quadrieren und Quadratwurzelziehen. In der indischen Mathematik traten allgemeiner Potenzieren und Wurzelziehen hinzu, später auch das Logarithmieren als siebte Grundrechenart. Mittelalterliche Rechenbücher bezeichneten Rechenarten als „Spezies“; Johannes de Sacrobosco führte um 1225 neun davon an. Luca Pacioli ordnete 1494 Duplatio und Mediatio wieder als Spezialfälle von Multiplikation und Division ein. Gemma Frisius beschränkte 1540 als einer der ersten Autoren die Grundrechenarten auf die heute üblichen vier.